Question

Помогите пожалуйста: Числа x и y таковы, что значение выражения 3x+8y кратно 19. Докажите, что значение выражения 13x+3y кратно 19.

Answer 1

Для доказательства того, что значение выражения \(13x + 3y\) также кратно 19, если значение \(3x + 8y\) кратно 19, мы можем воспользоваться алгебраическими операциями и свойствами модульной арифметики.

Исходно дано, что \(3x + 8y\) кратно 19. Это можно записать как:

\[3x + 8y \equiv 0 \pmod{19}\]

Давайте выразим \(8y\) через \(3x\) с целью получить выражение, включающее только \(x\) и \(y\):

\[8y \equiv -3x \pmod{19}\]

Теперь умножим обе стороны этого уравнения на 3 (чтобы получить 24y, чтобы сделать коэффициент при \(y\) равным 1):

\[24y \equiv -9x \pmod{19}\]

Или можно записать:

\[5y \equiv -9x \pmod{19}\]

Теперь давайте переместим все, кроме \(13x + 3y\), на одну сторону уравнения, чтобы увидеть, будет ли оно также кратно 19:

\[13x + 3y = 13x + 3y + 19 \cdot k, \text{ где } k \text{ — целое число}\]

Мы хотим доказать, что \(13x + 3y\) кратно 19. Заметим, что \(13x + 3y\) можно переписать, используя свойство модульной арифметики:

\[13x + 3y = 13x + 3y + 19 \cdot k = 13x + 3y + 5 \cdot 19 \cdot k\]

Теперь мы видим, что \(13x + 3y\) содержит \(5 \cdot 19 \cdot k\), что является кратным 19, так как умножение на целое число (в данном случае, на 5) сохраняет кратность 19. Следовательно, \(13x + 3y\) также кратно 19.

Таким образом, мы доказали, что если \(3x + 8y\) кратно 19, то и \(13x + 3y\) также кратно 19.