Question

Решите неравенство (x+1)(2-x)(5х-16)≤0

Answer 1

Чтобы решить неравенство \((x + 1)(2 - x)(5x - 16) \leq 0\), мы должны определить интервалы значений \(x\), для которых неравенство выполняется. Мы можем использовать метод интервалов знаков для этого.

1. Найдем значения \(x\), при которых каждый из множителей равен нулю:

\((x + 1) = 0\) \(\implies x = -1\)

\((2 - x) = 0\) \(\implies x = 2\)

\((5x - 16) = 0\) \(\implies x = \frac{16}{5} = 3.2\)

Таким образом, у нас есть три точки разбиения интервала: \(x = -1\), \(x = 2\), \(x = 3.2\).

2. Теперь выберем тестовую точку из каждого интервала, образованного этими точками разбиения. Возьмем \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 2.5\) и \(x = 4\), например.

3. Подставим эти тестовые значения в исходное неравенство \((x + 1)(2 - x)(5x - 16) \leq 0\) и определим знак выражения в каждом интервале:

- Для интервала \((- \infty, -1)\): \((-) \cdot (-) \cdot (-) \leq 0\) - произведение отрицательных множителей даёт отрицательное число. - Для интервала \((-1, 2)\): \((+) \cdot (-) \cdot (-) \leq 0\) - произведение положительного и двух отрицательных множителей даёт положительное число.

- Для интервала \((2, 3.2)\): \((+) \cdot (+) \cdot (-) \leq 0\) - произведение двух положительных и отрицательного множителей даёт отрицательное число.

- Для интервала \((3.2, +\infty)\): \((+) \cdot (+) \cdot (+) \leq 0\) - произведение трех положительных множителей даёт положительное число.

4. Соберем результаты вместе:

\((x + 1)(2 - x)(5x - 16) \leq 0\) на интервалах: \((- \infty, -1] \cup (2, 3.2]\)

Таким образом, неравенство выполняется, когда \(x\) принадлежит интервалам \((- \infty, -1] \cup (2, 3.2]\).