Question

Log0.5(x+1)+log0.5(x+4)=log0.5 2-1

Answer 1

Давайте решим уравнение пошагово.

У вас дано уравнение:

\(\log_{0.5}(x+1) + \log_{0.5}(x+4) = \log_{0.5}2 - 1\).

Чтобы упростить уравнение, воспользуемся свойствами логарифмов. Первое, что можно сделать, это объединить логарифмы с одинаковым основанием в один логарифм, используя свойство произведения логарифмов:

\(\log_{0.5}((x+1)(x+4)) = \log_{0.5}2 - 1\).

Теперь мы видим, что основание логарифма одинаковое, поэтому можно уравнять аргументы логарифмов:

\((x+1)(x+4) = 2^{-1}\).

Сократим правую часть:

\((x+1)(x+4) = \frac{1}{2}\).

Раскроем скобки:

\(x^2 + 4x + x + 4 = \frac{1}{2}\).

Сгруппируем слагаемые:

\(x^2 + 5x + 4 = \frac{1}{2}\).

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(2(x^2 + 5x + 4) = 1\).

\(2x^2 + 10x + 8 = 1\).

Теперь приведем уравнение к квадратичной форме:

\(2x^2 + 10x + 8 - 1 = 0\).

\(2x^2 + 10x + 7 = 0\).

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем разделить все коэффициенты на 2 для упрощения:

\(x^2 + 5x + \frac{7}{2} = 0\).

Применим квадратное уравнение:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Для нашего уравнения:

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{7}{2}}}{2}\).

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 14}}{2}\).

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{11}}{2}\).

Таким образом, у нас есть два решения:

\(x = \frac{-5 + \sqrt{11}}{2}\) и \(x = \frac{-5 - \sqrt{11}}{2}\).

Это окончательные ответы для уравнения.