Question

Решите пж Найдите область определения функции у = корень 2-x-x^2/x

Answer 1

Чтобы найти область определения функции \(y = \frac{\sqrt{2 - x - x^2}}{x}\), нужно рассмотреть значения \(x\), при которых функция определена.

В данной функции есть несколько ограничений:

1. Знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Таким образом, исключаем значения \(x\), при которых \(x = 0\).

2. Внутри корня \(\sqrt{2 - x - x^2}\) должно быть неотрицательное число, так как корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Выражение \(2 - x - x^2\) должно быть больше или равно нулю.

Теперь решим неравенство \(2 - x - x^2 \geq 0\):

\[2 - x - x^2 \geq 0\]

Для начала, давайте перепишем неравенство в виде квадратного трехчлена:

\[-x^2 - x + 2 \geq 0\]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( -x^2 - x + 2 = 0\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где у нас \(a = -1\), \(b = -1\) и \(c = 2\). Подставим значения:

\[D = (-1)^2 - 4(-1)(2) = 1 + 8 = 9\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения два действительных корня. Найдем корни:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{-2}\]

Это дает два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\).

Теперь определим знак выражения \(-x^2 - x + 2\) в интервалах, образованных найденными корнями. Для этого выберем тестовую точку в каждом интервале:

1. При \(x < -1\), возьмем \(x = -2\):

\[-(-2)^2 - (-2) + 2 = -2 - (-2) + 2 = 0\]

2. При \(-1 < x < 2\), возьмем \(x = 0\):

\[-0^2 - 0 + 2 = 2\]

3. При \(x > 2\), возьмем \(x = 3\):

\[-3^2 - 3 + 2 = -9 - 3 + 2 = -10\]

Таким образом, неравенство \(2 - x - x^2 \geq 0\) выполняется для \(x \leq -1\) и \( -1 \leq x \leq 2\).

Теперь учтем условие, что знаменатель \(x\) не может быть равен нулю (\(x \neq 0\)).

Итак, областью определения функции \(y = \frac{\sqrt{2 - x - x^2}}{x}\) будет интервал \((-1, 0) \cup (0, 2)\), так как мы исключили точку \(x = 0\).