Question

Найдите наименьший положительный корень уравнения 5(cos^2)πx-5cosπx+4(sin^2)πx=0

Answer 1

Для решения данного уравнения, мы можем использовать замены тригонометрических тождеств, чтобы преобразовать его в более простую форму.

Используем следующие тождества: - cos^2(πx) + sin^2(πx) = 1 - cos(πx) = sqrt(1 - sin^2(πx))

Подставим эти тождества в исходное уравнение:

5(cos^2(πx)) - 5cos(πx) + 4(sin^2(πx)) = 0 5(1 - sin^2(πx)) - 5sqrt(1 - sin^2(πx)) + 4sin^2(πx) = 0 5 - 5sin^2(πx) - 5sqrt(1 - sin^2(πx)) + 4sin^2(πx) = 0 -5sin^2(πx) + 4sin^2(πx) - 5sqrt(1 - sin^2(πx)) + 5 = 0 -sin^2(πx) - 5sqrt(1 - sin^2(πx)) + 5 = 0

Давайте обозначим sin(πx) как t, чтобы упростить запись:

-t^2 - 5sqrt(1 - t^2) + 5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно t. Пусть u = sqrt(1 - t^2):

-t^2 - 5u + 5 = 0

Решим это уравнение, используя квадратное уравнение:

t^2 + 5u - 5 = 0

Дискриминант этого уравнения равен D = 5^2 - 4*1*(-5) = 25 + 20 = 45. Поскольку D > 0, у нас есть два корня:

t1 = (-5 + sqrt(45)) / 2 t2 = (-5 - sqrt(45)) / 2

Обратимся к исходному уравнению, чтобы найти значения sin(πx):

sin(πx) = t1 и sin(πx) = t2

Теперь мы можем найти значения x, используя обратную функцию синуса:

πx = arcsin(t1) и πx = arcsin(t2)

x = arcsin(t1) / π и x = arcsin(t2) / π

Таким образом, мы найдем два значения x, соответствующие наименьшим положительным корням уравнения.