Question

Розвяжіть нерівність cos^2x-sin^2x< √2/2

Answer 1

Давайте розв'яжемо дану нерівність:

\[ \cos^2x - \sin^2x < \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Спочатку скористаємося тригонометричним тотожністю \( \cos^2x - \sin^2x = \cos(2x) \). Замінимо це у нерівність:

\[ \cos(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Тепер розглянемо значення \( 2x \). Щоб спростити обчислення, можемо розділити обидві частини на 2:

\[ \cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Тепер знайдемо ті значення \( x \), для яких ця нерівність виконується. Щоб це зробити, врахуємо, що косинус менший за \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) у першому та четвертому квадрантах.

У першому квадранті \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) (додаємо кратні \(2\pi\) для всіх можливих значень), а в четвертому квадранті \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\) (також додаємо кратні \(2\pi\)). Записуємо це у вигляді об'єднання:

\[ 0 < x < \frac{\pi}{2} \cup \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi + 2k\pi \]

де \(k\) - ціле число.

Отже, це є область значень \(x\), для яких виконується нерівність \(\cos^2x - \sin^2x < \frac{\sqrt{2}}{2}\).