Question

Докажите что при любом целом n значение трехчлена 2n^3-3n^2+n кратно 6

Answer 1

Для доказательства, что при любом целом \(n\) значение трехчлена \(2n^3 - 3n^2 + n\) кратно 6, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай

Для \(n = 1\):

\[ 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \]

Это значение кратно 6, так как \(0\) делится на 6.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа \(k\), т.е.,

\[ 2k^3 - 3k^2 + k = 6m \]

где \(m\) - целое число.

Шаг 3: Индукционный переход

Теперь докажем, что утверждение верно и для \(k + 1\). Рассмотрим:

\[ \begin{align*} 2(k+1)^3 - 3(k+1)^2 + (k+1) &= 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1) + (k + 1) \\ &= 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3 + k + 1 \\ &= 2k^3 - 3k^2 + k + 6k^2 + 6k - 2 \\ &= (2k^3 - 3k^2 + k) + 6(k^2 + k - 1) \end{align*} \]

Теперь воспользуемся предположением индукции. По предположению, \(2k^3 - 3k^2 + k\) равно \(6m\). Подставим это в уравнение:

\[ 6m + 6(k^2 + k - 1) = 6(m + k^2 + k - 1) \]

Таким образом, получается, что значение для \(n = k + 1\) также кратно 6.

Заключение:

Мы доказали, что если утверждение верно для \(n = 1\), и если оно верно для \(n = k\), то оно также верно и для \(n = k + 1\). Следовательно, утверждение верно для всех целых неотрицательных чисел \(n\) по принципу математической индукции.