Question

3^x-8-(2*3^(x+1)-19)/(9^x-5*3^x+6)<=1/(3^x-3) далее,через замену получилосьt-8-(5t-17)/( (t-3)*(t-2) )<=0Помогите дорешать

Answer 1

Давайте решим это неравенство шаг за шагом. Для упрощения обозначим \(t = 3^x - 3\).

Итак, у нас есть:

\[3^x - 8 - \frac{2 \cdot 3^{x+1} - 19}{9^x - 5 \cdot 3^x + 6} \leq \frac{1}{3^x - 3}\]

Сделаем замену \(t = 3^x - 3\), тогда:

\[t - 8 - \frac{5t - 17}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0\]

Умножим обе стороны на знаменатель второго слагаемого:

\[(t - 3)(t - 2)(t - 8) - (5t - 17) \leq 0\]

Раскроем скобки:

\[(t^2 - 10t + 24) - (5t - 17) \leq 0\]

\[t^2 - 10t + 24 - 5t + 17 \leq 0\]

\[t^2 - 15t + 41 \leq 0\]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - 15t + 41 = 0\). Воспользуемся формулой для нахождения корней:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -15\), \(c = 41\).

\[t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}\]

\[t = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 164}}{2}\]

\[t = \frac{15 \pm \sqrt{61}}{2}\]

Теперь у нас есть два корня:

\[t_1 = \frac{15 + \sqrt{61}}{2}, \quad t_2 = \frac{15 - \sqrt{61}}{2}\]

Теперь определим знак выражения \(t^2 - 15t + 41\) в каждом из трех интервалов, образованных корнями:

1. \(t < \frac{15 - \sqrt{61}}{2}\) 2. \(\frac{15 - \sqrt{61}}{2} < t < \frac{15 + \sqrt{61}}{2}\) 3. \(t > \frac{15 + \sqrt{61}}{2}\)

Для этого просто выберем любое значение в каждом интервале и подставим его в выражение. Например, возьмем \(t = 0\), \(t = \frac{15 - \sqrt{61}}{2}\), \(t = \frac{15}{2}\) и \(t = \frac{15 + \sqrt{61}}{2}\).

1. При \(t = 0\): \(0^2 - 15 \cdot 0 + 41 = 41 > 0\) 2. При \(t = \frac{15 - \sqrt{61}}{2}\): \((\frac{15 - \sqrt{61}}{2})^2 - 15 \cdot \frac{15 - \sqrt{61}}{2} + 41 < 0\) 3. При \(t = \frac{15}{2}\): \((\frac{15}{2})^2 - 15 \cdot \frac{15}{2} + 41 > 0\) 4. При \(t = \frac{15 + \sqrt{61}}{2}\): \((\frac{15 + \sqrt{61}}{2})^2 - 15 \cdot \frac{15 + \sqrt{61}}{2} + 41 < 0\)

Таким образом, неравенство \(t^2 - 15t + 41 \leq 0\) выполняется в интервале \(\frac{15 - \sqrt{61}}{2} < t < \frac{15 + \sqrt{61}}{2}\).

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\):

\[\frac{15 - \sqrt{61}}{2} < 3^x - 3 < \frac{15 + \sqrt{61}}{2}\]

Теперь решим неравенство относительно \(x\):

\[ \log_3\left(\frac{15 - \sqrt{61}}{2} + 3\right) < x < \log_3\left(\frac{15 + \sqrt{61}}{2} + 3\right) \]

Таким образом, получаем интервал для \(x\):

\[ \log_3\left(\frac{15 - \sqrt{61}}{2} + 3\right) < x < \log_3\left(\frac{15 + \sqrt{61}}{2} + 3\right) \]

Это и есть решение исходного неравенства.