Question

Тема: Произведение и частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Возведите комплексное число в степень:(√3(cos π/3 + i sin π/3))⁶

Answer 1

Для того чтобы возвести комплексное число в степень, заданное в тригонометрической форме, нужно возвести модуль числа в данной степени и умножить его на аргумент числа, умноженный на данную степень.

Данное комплексное число можно представить в тригонометрической форме следующим образом: √3(cos(π/3) + i*sin(π/3)).

Для начала, найдем модуль данного числа. Модуль комплексного числа a + bi вычисляется по формуле |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2).

В данном случае, модуль числа равен sqrt(√3^2 + 1^2) = sqrt(3 + 1) = sqrt(4) = 2.

Затем, найдем аргумент данного числа. Аргумент комплексного числа a + bi вычисляется по формуле arg(a + bi) = atan(b/a), где atan - функция арктангенса.

В данном случае, аргумент числа равен atan(1/√3) = π/6.

Теперь, возводим комплексное число в шестую степень:

(√3(cos(π/3) + i*sin(π/3)))^6 = (2 * (cos(π/6) + i*sin(π/6)))^6.

Для возведения в шестую степень можно использовать формулу Муавра: (r(cosθ + i*sinθ))^n = r^n * (cos(nθ) + i*sin(nθ)).

Подставим значения в формулу:

(2 * (cos(π/6) + i*sin(π/6)))^6 = 2^6 * (cos(6 * (π/6)) + i*sin(6 * (π/6))).

Упрощаем:

64 * (cos(π) + i*sin(π)).

Так как cos(π) = -1 и sin(π) = 0, получаем:

64 * (-1 + i*0) = -64.

Таким образом, результат возведения данного комплексного числа в шестую степень равен -64.

Ответ: (-64).