Question

Sin2x-2cosx=0; 2sinxcosx-2cosx=0 2cosx(sinx-1)=0 Каким образом получена 3 строка решения?

Answer 1

Давайте разберемся с уравнением:

\[\sin(2x) - 2\cos(x) = 0.\]

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Двойной угол: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). 2. Разложение \(\cos(2x)\): \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1\).

Подставим это в исходное уравнение:

\[2\sin(x)\cos(x) - 2\cos(x) = 0.\]

Факторизуем общий множитель \(2\cos(x)\):

\[2\cos(x)(\sin(x) - 1) = 0.\]

Теперь мы имеем два множителя, их произведение равно нулю, что означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \(2\cos(x) = 0\). Отсюда получаем \(\cos(x) = 0\). 2. \(\sin(x) - 1 = 0\). Отсюда получаем \(\sin(x) = 1\).

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Для \(\cos(x) = 0\) решениями будут углы \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. Для \(\sin(x) = 1\) решением будет угол \(\frac{\pi}{2}\).

Таким образом, объединяя оба случая, мы получаем решение уравнения:

\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\]

где \(k\) - целое число.