Question

X^3 +2x^2-5x-6=0 - Решить уравнение

Answer 1

Чтобы решить данное уравнение x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0, мы можем использовать различные методы, такие как метод графиков, метод подстановки и метод деления синтетическим способом. Давайте воспользуемся методом деления синтетическим способом, чтобы разложить уравнение на множители.

Метод деления синтетическим способом

1. Начнем с поиска рациональных корней уравнения. Рациональный корень будет иметь вид p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае это -6), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае это 1). Поделим все возможные делители свободного члена (-6) на делители старшего коэффициента (1), чтобы найти все возможные рациональные корни. Делители свободного члена (-6): ±1, ±2, ±3, ±6 Делители старшего коэффициента (1): ±1 Таким образом, возможные рациональные корни уравнения могут быть: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Применяем метод деления синтетическим способом, чтобы проверить каждый из найденных рациональных корней.

Начнем с p = 1: | 1 | 1 | 2 | -5 | -6 | |---|---|---|----|----| | | 1 | 3 | 5 | 0 | Получили остаток 0, что означает, что x - 1 является одним из множителей уравнения. Теперь разделим уравнение на (x - 1), чтобы найти остаток и получить новое уравнение: (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) / (x - 1) = x^2 + 3x + 5 Теперь новое уравнение x^2 + 3x + 5 = 0 является квадратным уравнением, которое можно решить с использованием квадратного трехчлена или метода полного квадратного трехчлена.

3. Решим квадратное уравнение x^2 + 3x + 5 = 0, используя квадратный трехчлен или метод полного квадратного трехчлена.

Дискриминант данного квадратного уравнения равен D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней, и его корни будут комплексными числами. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получим: x = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± √(-11)) / (2) = (-3 ± √11i) / 2 = (-3/2 ± (√11/2)i Таким образом, корни уравнения x^2 + 3x + 5 = 0 являются комплексными числами: x1 = (-3/2 + (√11/2)i x2 = (-3/2 - (√11/2)i 4. Итак, решение исходного уравнения x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 будет включать корень, найденный в пункте 2 (x - 1), и два комплексных корня, найденных в пункте 3 (x1 = (-3/2 + (√11/2)i) и x2 = (-3/2 - (√11/2)i).

Таким образом, решение уравнения x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 состоит из трех корней: x = 1, x = -3/2 + (√11/2)i, x = -3/2 - (√11/2)i.