Question

Тригонометрическое уравнение, помогите, пожалуйста! 8sin²x + cosx + 1 = 0

Answer 1

Конечно, я могу помочь с тригонометрическим уравнением!

Тригонометрическое уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

8sin²x + cosx + 1 = 0

Давайте решим его поэтапно.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Для начала, давайте заменим sin²x на 1 - cos²x, используя тригонометрическую тождественность sin²x + cos²x = 1. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

8(1 - cos²x) + cosx + 1 = 0

Упростим это уравнение:

8 - 8cos²x + cosx + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратичное уравнение с переменной cosx.

Шаг 2: Решение квадратичного уравнения

Для решения квадратичного уравнения, мы можем использовать методы факторизации или квадратного корня. Однако, в данном случае, у нас есть квадратный член cos²x, поэтому давайте введем новую переменную для упрощения.

Пусть z = cosx. Тогда наше уравнение примет следующий вид:

8 - 8z² + z + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя методы факторизации или формулу квадратного корня. Давайте воспользуемся формулой квадратного корня:

z = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае:

a = -8, b = 1 и c = 9

Подставим эти значения в формулу:

z = (-1 ± √(1 - 4(-8)(9))) / (2(-8))

z = (-1 ± √(1 + 288)) / (-16)

z = (-1 ± √289) / (-16)

z = (-1 ± 17) / (-16)

Теперь у нас есть два значения для z:

z₁ = (17 - 1) / (-16) = -16/(-16) = 1 z₂ = (-17 - 1) / (-16) = -18/(-16) = 9/8

Шаг 4: Возвращение к исходной переменной

Мы получили два значения для z, которые соответствуют значениям cosx. Теперь давайте найдем соответствующие значения для x, используя обратную функцию косинуса (arccos).

Для z₁ = 1:

cosx = z₁ = 1 x = arccos(1) x = 0° + 360°k, где k - целое число

Для z₂ = 9/8:

cosx = z₂ = 9/8 x = arccos(9/8) x = 20.9° + 360°k, где k - целое число

Таким образом, решения тригонометрического уравнения 8sin²x + cosx + 1 = 0 будут:

x₁ = 0° + 360°k, где k - целое число x₂ = 20.9° + 360°k, где k - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что все значения углов даны в градусах. А также, решение может содержать дополнительные значения x, так как тригонометрические функции являются периодическими.