Question

докажите, что последовательность (Bn) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых n её членов, если :Bn=3*2в степени n-1

Answer 1

Для доказательства того, что последовательность (Bn) является геометрической прогрессией, мы должны показать, что каждый член последовательности Bn получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число. В данном случае, мы имеем следующую формулу для Bn:

Bn = 3 * 2^(n-1)

Давайте проверим, выполняется ли это условие для каждого члена последовательности Bn.

Доказательство геометрической прогрессии

Для этого, давайте вычислим отношение каждого члена последовательности с его предыдущим членом:

Bn / Bn-1 = (3 * 2^(n-1)) / (3 * 2^(n-1-1)) = (3 * 2^(n-1)) / (3 * 2^(n-2)) = 2^(n-1) / 2^(n-2) = 2^(n-1) * 2^(-n+2) = 2^(n-1 - n + 2) = 2^1 = 2

Мы видим, что отношение каждого члена последовательности Bn к предыдущему члену равно постоянному числу 2. Таким образом, мы можем заключить, что последовательность (Bn) является геометрической прогрессией.

Нахождение суммы первых n членов

Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, мы можем использовать следующую формулу:

Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

где Sn - сумма первых n членов последовательности, a - первый член последовательности, r - отношение между соседними членами (в данном случае r = 2).

В нашем случае, первый член последовательности a = B1 = 3 * 2^(1-1) = 3, отношение r = 2.

Подставляя значения в формулу, получим:

Sn = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2)

Упрощая это выражение, получим окончательную формулу для суммы первых n членов последовательности Bn:

Sn = 3 * (1 - 2^n) / (-1)

Таким образом, сумма первых n членов последовательности (Bn) равна 3 * (1 - 2^n) / (-1).