Question

Докажите что выражение 1)23^3+32^3делится на 552)57^3-27^3делится на 30

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности и докажем, делится ли оно на заданное число.

1) Выражение: 23^3 + 32^3

Для того чтобы доказать, что это выражение делится на 55, нам необходимо убедиться, что остаток от деления этого выражения на 55 равен нулю.

Мы можем воспользоваться свойством сравнения модулей: если a ≡ b (mod m), то a^n ≡ b^n (mod m) для любого натурального числа n.

Таким образом, нам нужно проверить, делится ли каждое слагаемое, 23^3 и 32^3, по отдельности на 55.

23^3 ≡ 23 * 23 * 23 ≡ 27 (mod 55)

32^3 ≡ 32 * 32 * 32 ≡ 32 (mod 55)

Теперь мы можем сложить остатки:

27 + 32 ≡ 59 (mod 55)

Остаток 59 не делится на 55 без остатка, поэтому выражение 23^3 + 32^3 не делится на 55.

2) Выражение: 57^3 - 27^3

Аналогично первому выражению, нам нужно проверить, делится ли разность 57^3 и 27^3 на 30.

57^3 ≡ 57 * 57 * 57 ≡ 3 (mod 30)

27^3 ≡ 27 * 27 * 27 ≡ 3 (mod 30)

Теперь мы можем вычислить разность остатков:

3 - 3 ≡ 0 (mod 30)

Остаток 0 делится на 30 без остатка, поэтому выражение 57^3 - 27^3 делится на 30.

Таким образом, мы доказали, что первое выражение не делится на 55, а второе выражение делится на 30.