Question

Зная,что 1/x + 1/y = 1/9,найдите xy/x+y. Пожалуйста,прошу объяснить почему именно так,а не по другому.

Answer 1

Дано уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9} \]

Требуется найти выражение \(\frac{xy}{x+y}\). Давайте решим уравнение и найдем нужное выражение.

Умножим обе стороны уравнения на \(9xy\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 9y + 9x = xy \]

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ xy - 9x - 9y = 0 \]

Теперь воспользуемся методом факторизации:

\[ x(y - 9) - 9(y - 9) = 0 \]

\[ (x - 9)(y - 9) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных случая:

1. \(x - 9 = 0\) или \(x = 9\) 2. \(y - 9 = 0\) или \(y = 9\)

Теперь рассмотрим каждый случай:

1. Если \(x = 9\), подставим это значение в исходное уравнение:

\[ \frac{1}{9} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9} \]

Это верно для любых значений \(y\), и тогда \(xy/x+y = \frac{9y}{9+y}\).

2. Если \(y = 9\), аналогично:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} \]

Это верно для любых значений \(x\), и тогда \(xy/x+y = \frac{9x}{9+x}\).

Таким образом, имеется два возможных выражения для \(\frac{xy}{x+y}\): \(\frac{9y}{9+y}\) и \(\frac{9x}{9+x}\), в зависимости от того, какая из переменных, \(x\) или \(y\), равна 9.