Question

Решить уравнение: arcsin(3x^2 - 1) = arcsin(10x - 4)

Answer 1

Для решения уравнения \( \arcsin(3x^2 - 1) = \arcsin(10x - 4) \), мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства обратного синуса.

1. Применим обратный синус к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от \(\arcsin\): \[ 3x^2 - 1 = 10x - 4 \]

2. Перенесем все члены уравнения на одну сторону: \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \]

3. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем попытаться решить его с использованием квадратного уравнения или факторизации. Попробуем использовать квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где у нас есть \( a = 3 \), \( b = -10 \), и \( c = 3 \).

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm 8}{6} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( x \): - \( x_1 = \frac{3}{2} \) - \( x_2 = \frac{1}{3} \)

Теперь давайте проверим, удовлетворяют ли эти значения исходному уравнению. Подставим \( x = \frac{3}{2} \):

\[ \arcsin(3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 1) = \arcsin\left(10 \cdot \frac{3}{2} - 4\right) \]

\[ \arcsin\left(\frac{27}{2} - 1\right) = \arcsin\left(10 \cdot \frac{3}{2} - 4\right) \]

\[ \arcsin\left(\frac{25}{2}\right) = \arcsin(10 - 4) \]

\[ \arcsin\left(\frac{25}{2}\right) = \arcsin(6) \]

Здесь мы видим, что левая и правая части не совпадают, что означает, что \( x = \frac{3}{2} \) не является решением уравнения.

Теперь проверим \( x = \frac{1}{3} \):

\[ \arcsin(3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1) = \arcsin\left(10 \cdot \frac{1}{3} - 4\right) \]

\[ \arcsin\left(\frac{1}{3} - 1\right) = \arcsin\left(\frac{10}{3} - 4\right) \]

\[ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) \]

Здесь мы видим, что левая и правая части совпадают, что означает, что \( x = \frac{1}{3} \) является решением уравнения.

Таким образом, решением уравнения \( \arcsin(3x^2 - 1) = \arcsin(10x - 4) \) является только \( x = \frac{1}{3} \).