Question

Помогите решить примеры: Sin^3x+cos^3x=sin2x+1 2sinxcosx-sinx-cosx=3

Answer 1

Давайте рассмотрим поочередно каждое из уравнений и выразим его:

1. \( \sin^3 x + \cos^3 x \) Используем формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) Применяем эту формулу к \( \sin^3 x + \cos^3 x \): \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \] Мы также знаем, что \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), поэтому упростим выражение: \[ (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \]

2. \( \sin 2x + 1 \) Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) Подставим это в уравнение: \[ 2 \sin x \cos x + 1 \]

3. \( 2 \sin x \cos x - \sin x - \cos x \) Это выражение можно факторизовать, взяв общий множитель из первых двух членов и из последних двух: \[ \sin x (2 \cos x - 1) - \cos x (2 \cos x - 1) \] Теперь общий множитель - \( (2 \cos x - 1) \): \[ (2 \cos x - 1)(\sin x - \cos x) \]

Теперь объединим все три выражения:

\[ (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x + 1 = (2 \cos x - 1)(\sin x - \cos x) \]

Теперь у нас есть равенство трех выражений. Если мы хотим, чтобы оно было верным для всех значений \( x \), то можно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях \( x \) в каждом выражении:

1. Сравниваем коэффициенты при \( x^2 \): \[ 1 - \sin x \cos x = 0 \] Так как \( \sin x \cos x \) не может быть равно 1, то \( \sin x \cos x = 1 \), и следовательно, \( \sin x = \cos x \).

2. Сравниваем свободные члены: \[ 2 \sin x \cos x + 1 = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как \( 2 \sin x \cos x \) всегда неотрицательно.

3. Сравниваем коэффициенты при \( x \): \[ \sin x - \cos x = 0 \] Это уравнение имеет решение \( \sin x = \cos x \).

Итак, решение уравнения \( \sin^3 x + \cos^3 x = \sin 2x + 1 + 2 \sin x \cos x - \sin x - \cos x = 3 \) - это угол \( x \), для которого \( \sin x = \cos x \).