Question

Найдите точку максимума функции y= 6 * In (x+7)-6x-10

Answer 1

Чтобы найти точку максимума функции \(y = 6 \cdot \ln(x + 7) - 6x - 10\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y' = 6 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{d}{dx}(x + 7) - 6\]

Производная натурального логарифма \(\ln(u)\) равна \(\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\). Производная константы равна нулю. Таким образом, выражение упрощается:

\[y' = \frac{6}{x + 7} - 6\]

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, так как в таких точках может находиться экстремум (минимум или максимум):

\[\frac{6}{x + 7} - 6 = 0\]

Решим уравнение относительно \(x\):

\[\frac{6}{x + 7} = 6\]

\[1 = x + 7\]

\[x = -6\]

3. Найдем вторую производную, чтобы определить тип экстремума (максимума или минимума):

\[y'' = -\frac{6}{(x + 7)^2}\]

4. Подставим найденное значение \(x = -6\) во вторую производную:

\[y''(-6) = -\frac{6}{(-6 + 7)^2} = -6\]

Так как вторая производная отрицательна, точка \(x = -6\) является точкой максимума.

Теперь найдем значение функции \(y\) в этой точке:

\[y(-6) = 6 \cdot \ln((-6) + 7) - 6 \cdot (-6) - 10\]

\[y(-6) = 6 \cdot \ln(1) + 36 - 10\]

\[y(-6) = 36 - 10 = 26\]

Таким образом, точка максимума функции \(y\) равна \((-6, 26)\).