Question

Решить интервалы 1) (х-3)(х-4)(х-5)<0 2) (x^2+2х)(4х-2)⩾0 Заранее спасибо

Answer 1

Конечно, я помогу разобраться с этими неравенствами!

Для начала рассмотрим первое неравенство: \((x-3)(x-4)(x-5) < 0\).

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов или метод знаков. Давайте воспользуемся методом знаков.

Мы знаем, что неравенство меняет знак при прохождении через корни уравнения. У нас есть корни при \(x = 3\), \(x = 4\) и \(x = 5\). Теперь давайте посмотрим на знак выражения \((x-3)(x-4)(x-5)\) в каждом из интервалов, образованных этими корнями.

1. При \(x < 3\): Возьмем \(x = 2\) (любое число между 2 и 3). Тогда \((2-3)(2-4)(2-5) = (-1)(-2)(-3) = -6\). Значит, в этом интервале выражение отрицательно.

2. При \(3 < x < 4\): Возьмем \(x = 3.5\) (любое число между 3 и 4). Тогда \((3.5-3)(3.5-4)(3.5-5) = (0.5)(-0.5)(-1.5) = 0.375\). Значит, в этом интервале выражение положительно.

3. При \(4 < x < 5\): Возьмем \(x = 4.5\) (любое число между 4 и 5). Тогда \((4.5-3)(4.5-4)(4.5-5) = (1.5)(0.5)(-0.5) = -0.375\). Значит, в этом интервале выражение отрицательно.

4. При \(x > 5\): Возьмем \(x = 6\) (любое число больше 5). Тогда \((6-3)(6-4)(6-5) = (3)(2)(1) = 6\). Значит, в этом интервале выражение положительно.

Итак, решение неравенства \((x-3)(x-4)(x-5) < 0\) это \(3 < x < 4\).

Теперь перейдем ко второму неравенству: \(x^2 + 2x)(4x - 2) \geq 0\).

Для решения этого неравенства можно воспользоваться методом интервалов. Начнем с выражения в виде \(x(x + 2)(2x - 1) \geq 0\).

Аналогично предыдущему случаю, найдем интервалы, где это выражение положительно и отрицательно.

1. \(x < -2\): Выберем \(x = -3\) (любое число меньше -2). Получаем \((-3)(-1)(-7) = 21\), что положительно.

2. \(-2 < x < 0.5\): Выберем \(x = 0\) (любое число между -2 и 0.5). Получаем \((0)(2)(-1) = 0\), что неотрицательно.

3. \(x > 0.5\): Выберем \(x = 1\) (любое число больше 0.5). Получаем \((1)(3)(1) = 3\), что положительно.

Итак, решение неравенства \(x^2 + 2x)(4x - 2) \geq 0\) это \(x \leq -2\) или \(0.5 \leq x\).

Если возникнут дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!