Question

Почему гармонический ряд расходится? Если нетрудно, можете написать доказательство? Спасибо заранее)

Answer 1

Почему гармонический ряд расходится?

Гармонический ряд является рядом, в котором каждый следующий член является обратным к предыдущему члену. Например, гармонический ряд может быть представлен как 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Гармонический ряд является примером расходящегося ряда. Это означает, что сумма всех членов ряда не имеет конечного значения и стремится к бесконечности.

Доказательство:

Для доказательства расходимости гармонического ряда, можно использовать метод сравнения с интегралом. Сравнение с интегралом позволяет сравнить сумму ряда с определенным интегралом и определить его сходимость или расходимость.

Используя метод сравнения с интегралом, можно сравнить гармонический ряд с интегралом функции f(x) = 1/x. Для этого можно использовать интеграл от 1 до бесконечности:

∫(от 1 до ∞) 1/x dx

Интегрируя эту функцию, получим:

ln(x) (от 1 до ∞)

Подставляя пределы интегрирования, получим:

ln(∞) - ln(1)

Так как ln(∞) = ∞ и ln(1) = 0, то интеграл равен бесконечности.

Таким образом, гармонический ряд расходится, так как его сумма не имеет конечного значения и стремится к бесконечности.