Question

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Answer 1

Для доказательства того, что площади треугольников APB и CPD равны, мы можем использовать свойства треугольников и трапеции.

Дано: - Трапеция ABCD с основаниями AD и BC. - Диагонали AC и BD пересекаются в точке P.

Доказательство:

Шаг 1: Покажем, что треугольник ACP и треугольник BDP подобны.

Так как AC и BD являются диагоналями трапеции, они пересекаются в точке P. Из этого следует, что угол ACP равен углу BDP, так как они являются вертикальными углами.

Также, угол CAP равен углу BDP, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых AC и BD.

Таким образом, по признаку подобия треугольников, треугольник ACP подобен треугольнику BDP.

Шаг 2: Покажем, что отношение сторон треугольников ACP и BDP равно отношению площадей треугольников APB и CPD.

Поскольку треугольники ACP и BDP подобны, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Обозначим стороны треугольника ACP как a, b и c, а стороны треугольника BDP как x, y и z.

Тогда мы можем записать следующее:

AP / CP = a / x (отношение сторон треугольников ACP и APB) BP / DP = b / y (отношение сторон треугольников BDP и APB)

Также, мы знаем, что стороны треугольников ACP и BDP пропорциональны, поэтому:

CP / DP = c / z (отношение сторон треугольников ACP и BDP)

Таким образом, мы имеем следующее:

(AP * BP) / (CP * DP) = (a * b) / (c * z)

Применим теорему Пифагора к треугольникам ACP и BDP:

a^2 + c^2 = b^2 + z^2

Таким образом, мы можем записать:

(a * b) / (c * z) = (a^2 * b^2) / (c^2 * z^2)

Также, поскольку площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты, мы можем записать:

Площадь треугольника APB / Площадь треугольника CPD = (AP * BP) / (CP * DP) = (a^2 * b^2) / (c^2 * z^2)

Таким образом, отношение площадей треугольников APB и CPD равно отношению сторон треугольников ACP и BDP.

Шаг 3: Заключение.

Из шага 2 мы получили, что отношение площадей треугольников APB и CPD равно отношению сторон треугольников ACP и BDP. В шаге 1 мы показали, что треугольники ACP и BDP подобны. Таким образом, отношение сторон треугольников ACP и BDP равно единице. Следовательно, отношение площадей треугольников APB и CPD также равно единице.

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников APB и CPD равны.