Question

8sin^2x(3-2sin^2x)-9=0. 30баллов

Answer 1

Решение уравнения 8sin^2x(3-2sin^2x)-9=0:

Для начала, заметим, что данное уравнение является квадратным относительно sin^2x. Поэтому, мы можем ввести новую переменную, например, пусть t = sin^2x. Тогда наше уравнение примет вид:

8t(3-2t) - 9 = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

24t - 16t^2 - 9 = 0.

Теперь, у нас получилось квадратное уравнение относительно t. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться квадратным уравнением или методом дискриминанта.

Решение с использованием квадратного уравнения:

Для этого, приведем наше уравнение к стандартному виду ax^2 + bx + c = 0:

-16t^2 + 24t - 9 = 0.

Теперь, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения t:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае, a = -16, b = 24 и c = -9. Подставим значения в формулу:

t = (-24 ± √(24^2 - 4(-16)(-9))) / (2(-16)).

Выполняя вычисления, получим два значения для t:

t1 = 1/2 и t2 = 9/8.

Подстановка обратно и нахождение x:

Теперь, чтобы найти значения sin^2x, подставим найденные значения t обратно в уравнение t = sin^2x:

sin^2x = 1/2 и sin^2x = 9/8.

Извлекая квадратный корень, получим значения sinx:

sinx = ±√(1/2) и sinx = ±√(9/8).

Так как sinx находится в интервале [-1, 1], то мы можем отбросить значения, которые не находятся в этом интервале.

Таким образом, у нас получается два решения для sinx:

1. sinx = √(1/2). 2. sinx = -√(1/2).

Ответ:

Получили два значения для sinx: sinx = √(1/2) и sinx = -√(1/2).

Важно отметить, что в данном ответе был использован символ "±", который означает, что мы можем взять и положительное, и отрицательное значение для sinx. Это обусловлено тем, что sin(x) имеет период 2π, и для каждого значения sinx, найденного в данном ответе, мы можем добавить или вычесть 2πn, где n - целое число, чтобы получить все возможные значения x, которые удовлетворяют уравнению.