Question

Найти точку максимума на отрезке [0;4]y=x³-27x

Answer 1

Для нахождения точки максимума на данном отрезке, нам потребуется использовать производную функции y=x³-27x и найти её корни в заданном интервале [0;4].

Нахождение производной функции

Производная функции y=x³-27x можно найти, применяя правило дифференцирования для каждого слагаемого. В данном случае, производная функции будет равна:

y' = 3x² - 27

Определение критических точек

Чтобы найти точки максимума, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x² - 27 = 0

Решая это уравнение, получим:

3x² = 27

x² = 9

x = ±√9

x = ±3

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 3 и x = -3.

Определение точки максимума

Теперь, чтобы определить, какая из этих точек является точкой максимума, мы можем использовать вторую производную или график функции.

Вычислим вторую производную функции y=x³-27x:

y'' = 6x

Подставим найденные критические точки x = 3 и x = -3 во вторую производную:

y''(3) = 6(3) = 18 y''(-3) = 6(-3) = -18

Мы видим, что y''(3) > 0, а y''(-3) < 0. Это означает, что точка (3, f(3)) является точкой минимума, а точка (-3, f(-3)) является точкой максимума.

Нахождение значений функции в точках максимума

Теперь, чтобы найти значения функции в точках максимума, подставим x = -3 и x = 3 в исходную функцию:

f(-3) = (-3)³ - 27(-3) f(-3) = -27 + 81 f(-3) = 54

f(3) = (3)³ - 27(3) f(3) = 27 - 81 f(3) = -54

Таким образом, точка максимума на отрезке [0;4] для функции y=x³-27x будет (3, -54).