Question

Вычислите cos (a+pi/6) , если cos a=4/5 и 3pi/2 <a <2pi

Answer 1

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для решения этой задачи. У нас дано, что \( \cos a = \frac{4}{5} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \).

Тригонометрическое тождество для суммы углов гласит:

\[ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \]

Мы знаем значение \( \cos a \), поэтому давайте подставим \( a = \frac{4}{5} \) в формулу:

\[ \cos \left(\frac{4}{5} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{4}{5}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin \left(\frac{4}{5}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Теперь воспользуемся известными значениями тригонометрических функций:

\[ \cos \left(\frac{4}{5} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} \]

Для решения задачи нужно также вычислить \( \sin \left(\frac{4}{5}\right) \). Мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Из этого тождества мы можем выразить \( \sin x \):

\[ \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \]

Таким образом, для нашего случая:

\[ \sin \left(\frac{4}{5}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} \]

Теперь мы можем подставить это значение в нашу исходную формулу:

\[ \cos \left(\frac{4}{5} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} \cdot \frac{1}{2} \]

Теперь остается только вычислить этот числовой результат.