Question

Доказать тождество cos^2 a - sin^2 a / cos a - sin a  - tg a * cos a  = cos a

Answer 1

Данное тождество в тригонометрии можно доказать, используя основные тригонометрические тождества и алгебру. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности и затем объединим их вместе, чтобы получить исходное тождество.

Доказательство:

1. Рассмотрим первую часть тождества: cos^2(a) - sin^2(a) / cos(a) - sin(a). Используя тригонометрическое тождество cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a), мы можем заменить числитель этой дроби: cos^2(a) - sin^2(a) / cos(a) - sin(a) = cos(2a) / cos(a) - sin(a) После этого мы можем применить тригонометрическое тождество cos(2a) = 1 - 2sin^2(a): cos(2a) / cos(a) - sin(a) = (1 - 2sin^2(a)) / cos(a) - sin(a) Теперь мы можем раскрыть числитель и заменить cos(a) = 1 - sin^2(a): (1 - 2sin^2(a)) / cos(a) - sin(a) = (1 - 2sin^2(a)) / (1 - sin^2(a)) - sin(a) Заметим, что здесь у нас есть общий множитель 1 - sin^2(a), который можно сократить: (1 - 2sin^2(a)) / (1 - sin^2(a)) - sin(a) = 1 - 2sin^2(a) - sin(a) Раскроем скобки: 1 - 2sin^2(a) - sin(a) = 1 - sin(a)(2sin(a) + 1) Таким образом, мы получили первую часть исходного тождества в виде 1 - sin(a)(2sin(a) + 1).

2. Рассмотрим вторую часть тождества: tg(a) * cos(a). Используя определение тангенса tg(a) = sin(a) / cos(a), мы можем заменить тангенс второй части: tg(a) * cos(a) = (sin(a) / cos(a)) * cos(a) Здесь у нас есть общий множитель cos(a), который можно сократить: (sin(a) / cos(a)) * cos(a) = sin(a) Таким образом, мы получили вторую часть исходного тождества в виде sin(a).

3. Теперь объединим обе части тождества: Первая часть: 1 - sin(a)(2sin(a) + 1) Вторая часть: sin(a) Исходное тождество: 1 - sin(a)(2sin(a) + 1) = sin(a) Мы видим, что обе части равны, что означает, что исходное тождество cos^2(a) - sin^2(a) / cos(a) - sin(a) - tg(a) * cos(a) = cos(a) верно.

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество в тригонометрии.