Question

Помогите решить неравенство В числителе x^2-4x-12, в знаменателе x^2+3x-18, больше или равно нулю

Answer 1

Конечно, давайте разберем это неравенство поэтапно.

Имеем неравенство:

\(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x - 18} \geq 0\)

Прежде всего, для решения неравенства найдем корни числителя и знаменателя, так как они помогут нам определить интервалы, на которых неравенство будет выполняться.

1. Начнем с нахождения корней числителя \(x^2 - 4x - 12\):

Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(ax^2 + bx + c = 0\):

Для уравнения \(x^2 - 4x - 12 = 0\): \(a = 1, b = -4, c = -12\)

Вычислим дискриминант:

\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\)

Дискриминант \(D > 0\), значит, у нас два действительных корня.

Применим квадратное уравнение для нахождения корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}\)

\(x = \frac{4 \pm 8}{2}\)

\(x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6\)

\(x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2\)

Таким образом, корни числителя \(x^2 - 4x - 12\) равны \(x = 6\) и \(x = -2\).

2. Теперь найдем корни знаменателя \(x^2 + 3x - 18\):

Аналогично, решим квадратное уравнение \(x^2 + 3x - 18 = 0\):

\(a = 1, b = 3, c = -18\)

Вычислим дискриминант:

\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\)

Также здесь дискриминант \(D > 0\), что означает два действительных корня.

Применим квадратное уравнение для нахождения корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2}\)

\(x = \frac{-3 \pm 9}{2}\)

\(x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = -6\)

Корни знаменателя \(x^2 + 3x - 18\) равны \(x = 3\) и \(x = -6\).

Теперь определим интервалы, на которых неравенство \(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x - 18} \geq 0\) будет выполняться.

1. Найдем точки разрыва функции. Это точки, в которых знаменатель обращается в ноль, так как в этих точках функция становится неопределенной. Такие точки: \(x = -6\) и \(x = 3\). 2. Теперь возьмем по одному числу из каждого интервала, образованного этими точками разрыва: \(x < -6\), \(-6 < x < -2\), \(-2 < x < 3\), \(x > 3\), и проверим значения функции в этих точках.

Для определения знака функции на каждом интервале выберем произвольное значение внутри интервала и подставим его в исходное неравенство. Например: - Если \(x = -7\), то \(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{(-7)^2 - 4(-7) - 12}{(-7)^2 + 3(-7) - 18} = \frac{81}{34} > 0\) - Если \(x = 0\), то \(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{(0)^2 - 4(0) - 12}{(0)^2 + 3(0) - 18} = \frac{-12}{-18} = \frac{2}{3} > 0\) - Если \(x = -1\), то \(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{(-1)^2 - 4(-1) - 12}{(-1)^2 + 3(-1) - 18} = \frac{7}{-22} < 0\) - Если \(x = 4\), то \(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{(4)^2 - 4(4) - 12}{(4)^2 + 3(4) - 18} = \frac{0}{10} = 0\)

Таким образом, получаем интервалы, где неравенство выполнено: - \(-6 < x < -2\) - \(x > 3\)

Также, заметим, что функция равна нулю в точке \(x = 4\), но ноль включается в результат из-за условия \(\geq 0\).

Итак, решение данного неравенства