Question

(y-2)(y+3)-(y-2)<6y-11

Answer 1

Давайте разберем данное неравенство и решим его шаг за шагом.

Исходное неравенство: \((y-2)(y+3) - (y-2) < 6y - 11\)

Раскроем скобки: \(y^2 + 3y - 2y - 6 - y + 2 < 6y - 11\)

Упростим: \(y^2 - y - 4 < 6y - 11\)

Переносим все члены влево: \(y^2 - y - 4 - 6y + 11 < 0\)

Группируем члены: \(y^2 - 7y + 7 < 0\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(y^2 - 7y + 7 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где у нас \(a = 1\), \(b = -7\), и \(c = 7\).

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 49 - 28 = 21\]

Дискриминант равен 21, что больше нуля, следовательно, у уравнения есть два действительных корня. Мы можем найти их, используя формулу для корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[y = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения \(y^2 - 7y + 7 = 0\) равны: \[y_1 = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}, \quad y_2 = \frac{7 - \sqrt{21}}{2}\]

Теперь, чтобы определить знак выражения \(y^2 - 7y + 7\), мы можем использовать метод интервалов. Мы знаем, что у уравнения есть два корня, и оно открывает вверх, так как коэффициент при \(y^2\) положителен.

Разбиваем ось \(y\) на три интервала с корнями как границами:

1. \(-\infty < y < \frac{7 - \sqrt{21}}{2}\) 2. \(\frac{7 - \sqrt{21}}{2} < y < \frac{7 + \sqrt{21}}{2}\) 3. \(\frac{7 + \sqrt{21}}{2} < y < +\infty\)

Выберем точку в каждом интервале для проверки знака. Например, возьмем \(y = 0\) для первого интервала, \(y = \frac{7}{2}\) для второго, и \(y = 10\) для третьего.

1. Подставим \(y = 0\): \(0^2 - 7 \cdot 0 + 7 = 7\), положительно. 2. Подставим \(y = \frac{7}{2}\): \(\left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7 \cdot \frac{7}{2} + 7 = -\frac{1}{4}\), отрицательно. 3. Подставим \(y = 10\): \(10^2 - 7 \cdot 10 + 7 = 67\), положительно.

Таким образом, выражение \(y^2 - 7y + 7\) отрицательно на интервале \(\frac{7 - \sqrt{21}}{2} < y < \frac{7 + \sqrt{21}}{2}\).

Теперь вернемся к исходному неравенству: \[y^2 - 7y + 7 < 0\]

Таким образом, решение данного неравенства - это интервал \(\frac{7 - \sqrt{21}}{2} < y < \frac{7 + \sqrt{21}}{2}\).