Question

Срочно..Помогите, пожалуйста!

Answer 1

1)$\frac{3-x}{x}>0$
найдем корни и нанесем их на координатную ось:
   -                     +                      -
-----------------------------------------------------------------
            0                              3

Ответ: (0,3)
2) $\frac{x^2-6x+9}{5-4x-x^2} \geq 0$
$\frac{(x+3)^2}{x^2+4x-5} \leq 0$
найдем корни и нанесем их на координатную ось:
$x=-3$ - четный корень. (знак не меняется)
$x^2+4x-5=0$
по теореме Виета:
$x_1=1,\,\,x_2=-5$ (выколотые точки на координатной оси, т.к. знаменатель не может быть равен нулю)
     +                   -                        -                      +
--------------------------------------------------------------------------------------
             -5                    -3                      1

получаем такие интервалы: (-5;-3] и [-3;1)
Ответ: (-5;1)

3)$x(x+1)^2(x+2)<12$ (заметим сразу, что 0, -1,-2 не подходят в кандидаты в корни)
$(x^2+2x)(x^2+2x+1)<12//x^4+2x^3+x^2+2x^3+4x^2+2x<12\\x^4+4x^3+5x^2+2x-12<0$
найдем корни и нанесем их на координатную ось:
для начала найдем все числа, на которое можно нацело разделить 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6 и -12.
все положительные числа нам не подходят, кроме 1, т.к. при любом x>1 мы получим, что x^4+4x^3+5x^2+2x > 12.
подставим 1:
$1+4+5+2-12=0\\0=0$
1 - является корнем.
-1 и -2 не будем рассматривать, т.к. они не подходят (смотри выше)
поставим -3:
$81-4*27+45-6-12=0\\81-108+45-18=0\\108-108=0\\0=0$
-3 - является корнем.
теперь вынесем общий множитель (x-1) и (x+3).
$x^3(x-1)+5x^2(x-1)+10x(x-1)+12(x-1)<0\\(x-1)(x^3+5x^2+10x+12)<0\\(x-1)(x^2(x+3)+2x(x+3)+4(x+3))<0\\(x-1)(x+3)(x+2)^2<0$
$(x+2)^2 \geq 0$ заметим, что он всегда больше и принимает 0 в точке -2
нанесем корни на координатную прямую и расставим знаки:
         +                           -                                +
-----------------------------------------------------------------------------------
                  -3                                  1
получаем такой интервал (-3,1), т.к. $(x+2)^2$ принимает 0 в точке -2, то мы ее должны выколоть, т.к. у нас строго меньше нуля.
Ответ: (-3,1)

4)$(x^2-2x)^2-7x^2+14x-8 \geq 0$
$x^4-4x^3+4x^2-7x^2+14x-8 \geq 0\\x^4-4x^3 -3x^2+14x-8 \geq 0$
найдем корни и нанесем их на координатную ось:
для начала найдем все числа, на которое можно нацело разделить 8: 1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8
подставим 1:
$1-4-3+14-8=0\\15-15=0\\0=0$
1 - является корнем, сразу вынесем общий множитель (x-1)
$x^4-4x^3 -3x^2+14x-8=0\\x^4-x^3-3x^3+3x^2-6x^2+6x+8x-8=0\\x^3(x-1)-3x^2(x-1)-6x(x-1)+8(x-1)=0\\(x-1)(x^3-3x^2-6x+8)=0$
внимательно посмотрим вот на этот многочлен $x^3-3x^2-6x+8=0$ увидим, что там тоже корень 1
$x^3-x^2-2x^2+2x-8x+8=0\\x^2(x-1)-2x(x-1)-8(x-1)=0\\(x-1)(x^2-2x-8)=0$
у нас получается вот такое неравенство:
$(x-1)^2(x^2-2x-8) \gep 0$
разберемся теперь с $x^2-2x-8=0$
по теореме Виета находим корни:
$x_1=4,\,\,x_2=-2$
запишем полученное неравенство:
$(x-1)^2(x-4)(x+2) \gep 0$ PS 1 - четный корень
нанесем корни на координатную ось:
     +                     -                          -                  +
--------------------------------------------------------------------------------------
             -2                       1                    4

получаем интервалы: (-∞,-2] и [4,+∞)
Ответ: (-∞,-2] и [4,+∞)

5)$x-\frac{4}{x}<0$
$\frac{x^2-4}{x}<0$
найдем корни и нанесем их на координатную ось:
         -                +                     -                  +
----------------------------------------------------------------------------------
                 -2                0                   2

интервалы: (-∞,-2) и (0,2)
Ответ: (-∞,-2) и (0,2)