Question

Пусть k-это любое натуральное число.Докажите,что 7+7^2+7^3+7^4+...+7^4k делится на 400

Answer 1

$7+7^2+7^3+7^4+...+7^{4k} \ \vdots \ 400$
Рассмотрим элементы $7,7^2,7^3,7^4,...,7^{4k}$ по отдельности.
Можно заметить, что они являются членами геометрической прогрессии, где каждый элемент больше последующего в 7 раз. Следовательно, это есть сумма геометрической прогрессии с $n=4k$ элементов.

$b_1=7 \\ b_2=7*7=7^2 \\ b_3=7*7*7=7^3 \\ ... \\ b_{4k}=7*7*7*...*7=7^{4k} \\ \\ q= \frac{b_2}{b_1}= \frac{7^2}{7}=7 \\ S_{4k}= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}= \frac{7(7^{4k}-1)}{7-1} = \frac{7}{6} (7^{4k}-1)$.

Получили, что нужно доказать кратность выражения $\frac{7}{6} (7^{4k}-1)\ \vdots \ 400$.

$\frac{7}{6} (7^{4k}-1)=\frac{7}{6}(7^{2k}-1)(7^{2k}+1)=\frac{7}{6}(7^{k}-1)(7^{k}+1)(7^{2k}+1) \ \vdots \ 4$.

Докажем кратность методом математической индукции (2 этапа):
1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).
2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).

Рассмотрим 1ый шаг при $k=1$:
$\frac{7}{6}(7^{k}-1)(7^{k}+1)(7^{2k}+1) =\frac{7}{6}(7-1)(7+1)(7^2+1)=\frac{7}{6}*6*8*50=\\=7*8*50=2840 \\ 2840:4=700$
Доказано при $k=1$ выполняется.

Рассмотрим 2ой шаг при $k=n+1$.
$\frac{7}{6}(7^{n+1}-1)(7^{n+1}+1)(7^{2(n+1)}+1)= \\ =\frac{7}{6}(7^{n+1}-1)(7^{n+1}+1)(7^{2n+2}+1)$
Что и требовалось доказать.