Question

Найдите среднее арифметическое натуральных решений неравенств X^2+2ǀxǀ-15=<0

Answer 1

При x < 0 будет |x| = -x
x^2 - 2x - 15 <= 0
(x - 5)(x + 3) <= 0
x = [-3; 5], но по условию x < 0, поэтому x = [-3; 0)
При x >= 0 будет |x| = x
x^2 + 2x - 15 <= 0
(x + 5)(x - 3) <= 0
x = [-5; 3], но по условию x >= 0, поэтому x = [0; 3]
Натуральные решения: 1, 2, 3
Их среднее арифметическое (1 + 2 + 3)/3 = 2

Анекдот все-таки оставлю здесь. 
Студент 2 часа решал уравнение и получил x = 0.
-Значит, я все 2 часа работал впустую?

Answer 2

$x^{2} +2|x|-15 \leq 0$

замена : $|x|=t$,  $t \geq 0$

$t^2+2t-15 \leq 0$
$D=2^2-4*1*(-15)=4+60=64$

$t_1=3$
$t_2=-5$

решаем методом интервалов и получаем 

$t$ ∈ $[-5;3]$

$-5 \leq t \leq 3$, учитывая тот факт, что $t \geq 0$

$0 \leq t \leq 3$

$0 \leq |x| \leq 3$

$\left \{ {{|x| \geq 0} \atop {|x| \leq 3}} \right.$

$|x| \geq 0$ - верно для любых x
$|x| \leq 3$
$-3 \leq x \leq 3$

натуральные решения: $1;2;3$

$\frac{1+2+3}{3} =2$

Ответ: $2$

Answer 3

Начнем с решения неравенства x^2 + 2ǀxǀ - 15 ≤ 0. Для начала заметим, что выражение 2ǀxǀ всегда больше или равно нулю, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, нам нужно найти значения x, для которых x^2 - 15 ≤ 0.

Разложим левую часть неравенства на множители: (x + √15)(x - √15) ≤ 0.

Теперь найдем корни уравнения x + √15 = 0 и x - √15 = 0: x = -√15 и x = √15.

Построим знаковую функцию на основе этих корней: ------√15--------0-------√15-------

Посмотрим на значение функции в каждом из интервалов: -∞: (-∞, -√15) => (-)(-) = + (-√15, 0) => -(+)(-) = - (0, √15) => (+)(+) = + (√15, +∞): (+, +∞) => (+)(+) = +

Таким образом, неравенство x^2 - 15 ≤ 0 выполняется при -√15 ≤ x ≤ √15. Среднее арифметическое натуральных решений данного неравенства будет равно (-√15 + √15) / 2 = 0.