Question

Найдите производную y=cos^2*x/8 - sin^2*x/8 Пожалуйста с подробностями

Answer 1

$y=cos^2\frac{x}{8}-sin^2\frac{x}8}=cos(2\cdot \frac{x}{8})=cos\frac{x}{4}\\\\(\, cos^2\alpha -sin^2 \alpha =cos2 \alpha \, )\\\\y'=-sin\frac{x}{4}\cdot (\frac{x}{4})'=-sin\frac{x}{4}\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\cdot sin\frac{x}{4}\\\\(\; \, (cosu)'=-sinu\cdot u'\; \; )$

Answer 2

Конечно, давайте найдем производную функции \(y = \frac{\cos^2(x)}{8} - \frac{\sin^2(x)}{8}\).

Для нахождения производной используем базовые правила дифференцирования. Обозначим \(\cos(x)\) как \(u\) и \(\sin(x)\) как \(v\), тогда:

\[ y = \frac{u^2}{8} - \frac{v^2}{8} \]

Теперь найдем производные каждого слагаемого по отдельности и применим правило дифференцирования частного:

1. Для первого слагаемого \(\frac{u^2}{8}\): \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{u^2}{8}\right) = \frac{1}{8} \cdot 2u \cdot \frac{du}{dx} \]

2. Для второго слагаемого \(-\frac{v^2}{8}\): \[ \frac{d}{dx} \left(-\frac{v^2}{8}\right) = -\frac{1}{8} \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dx} \]

Теперь найдем производные \(\frac{du}{dx}\) и \(\frac{dv}{dx}\):

3. \(\frac{du}{dx} = -\sin(x)\) 4. \(\frac{dv}{dx} = \cos(x)\)

Теперь подставим все в выражение для производной:

\[ y' = \frac{1}{8} \cdot 2u \cdot \frac{du}{dx} - \frac{1}{8} \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dx} \]

Подставим значения \(\frac{du}{dx}\) и \(\frac{dv}{dx}\):

\[ y' = \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot \cos^2(x) \cdot (-\sin(x)) - \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot \sin^2(x) \cdot \cos(x) \]

Упростим:

\[ y' = -\frac{\cos^2(x) \sin(x)}{4} + \frac{\sin^2(x) \cos(x)}{4} \]

Теперь можно объединить члены:

\[ y' = \frac{\sin(x) \cos(x)(\sin(x) - \cos(x))}{4} \]

Таким образом, производная функции \(y = \frac{\cos^2(x)}{8} - \frac{\sin^2(x)}{8}\) равна \(\frac{\sin(x) \cos(x)(\sin(x) - \cos(x))}{4}\).