Question

Докажите что число √2+√2+√2+√2+√2 иррациональное

Answer 1

Док-во от противного:
Если корень из двух (далее к2) рационален, значит к2 = m/n, где m и n натуральные числа причем дробь m/n несократимая. (по определению рационального числа)

возведем обе частив квадрат получаем 2 = m*m/n*n, домножаем обе части на n*n получаем 2*n*n = m*m
делаем вывод, что m - четное число, а значит m = 2*m1.
получаем 2*n*n = (2*m1)*(2*m1), далее 2*n*n = 4*m1*m1, значит n*n = 2*m1*m1 из этого следует что n тоже четное число.

Получиили что и n и m четные числа, значит дробь можно сократить (поделить числитель и знаменатель на 2, но это противоречит условию что дробь несократима. ПРОТИВОРЕЧИЕ. значит к2 иррационален.

Answer 2

Давайте предположим обратное, что число \( x = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \) рациональное. Это означает, что мы можем записать \( x \) в виде дроби \( \frac{p}{q} \), где \( p \) и \( q \) — целые числа, и \( q \neq 0 \).

Тогда у нас есть:

\[ x = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \]

\[ x = \sqrt{2} \cdot 5 \]

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\[ x^2 = (\sqrt{2} \cdot 5)^2 \]

\[ x^2 = 2 \cdot 25 \]

\[ x^2 = 50 \]

Таким образом, получается уравнение \( x^2 - 50 = 0 \). Если \( x \) рациональное, то оно должно быть решением этого уравнения.

Однако, квадратный корень из 50 не является рациональным числом. Это можно доказать от противного, предполагая, что \( \sqrt{50} \) рациональное. В таком случае, оно может быть представлено в виде дроби \( \frac{p}{q} \), где \( p \) и \( q \) взаимно просты. Тогда:

\[ \sqrt{50} = \frac{p}{q} \]

\[ 50 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 \]

\[ 50q^2 = p^2 \]

Это приводит к тому, что \( p^2 \) делится на 50. Так как 50 — простое число, то \( p \) также делится на 50. Пусть \( p = 50k \), где \( k \) — некоторое целое число. Тогда:

\[ 50q^2 = (50k)^2 \]

\[ 50q^2 = 2500k^2 \]

\[ q^2 = 50k^2 \]

Это означает, что \( q^2 \) тоже делится на 50, что противоречит тому, что \( p \) и \( q \) взаимно просты. Таким образом, мы приходим к выводу, что \( \sqrt{50} \) и, следовательно, \( x \) не могут быть рациональными.

Итак, число \( \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \) является иррациональным.