Question

Упрости выражение, преобразуй произведение в сумму sin25°⋅cos25°⋅2(sin²37°+cos²37°)+cos52°⋅cos12°

Answer 1

(sin25° · cos25° · 2) · (sin²37° + cos²37°) + cos52° · cos12°

Первая скобка по формуле синуса двойного угла:

2 · sinα · cosα = sin(2α)

Вторая скобка по основному тригонометрическому тождеству:

sin²α + cos²α = 1

Применим на нашем примере:

sin50° · 1 + cos52° · cos12°

Дальше не имеет смысла упрощать (превращать произведение в сумму и так далее), так как в любом случае мы не добьёмся привычного или целого ответа.

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами тригонометрии.

1. Начнем с первого слагаемого sin25°⋅cos25°⋅2(sin²37°+cos²37°): По формуле двойного угла sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), можем заменить sin25°⋅cos25° на sin50°/2. Обозначим это выражение как А. Также заменим sin²37°+cos²37° на 1, по формуле Пифагора. Получаем, что первое слагаемое преобразуется в A.

2. Рассмотрим второе слагаемое cos52°⋅cos12°: Мы можем заменить cos52°⋅cos12° на (cos64° + cos40°)/2, с помощью формулы сложения косинусов. Обозначим это выражение как B.

Таким образом, исходное выражение преобразуется в A + B.

В результате, выражение sin25°⋅cos25°⋅2(sin²37°+cos²37°)+cos52°⋅cos12° упрощается и преобразуется в sin50°/2 + (cos64° + cos40°)/2.