Question

Найдите пятый член геометрической прогрессии, состоящей из восьми членов, если сумма её членов с четными номерами равна 1360, а с нечетными 680

Answer 1

a первый член q знаменатель

нечетные члены прогрессии a+aq^2+aq^4+aq^6=680

четные члены прогрессии aq+aq^3+aq^5+aq^7=q(a+aq^2+aq^4+aq^6)=q*680=1360 => q=2

подставив в любое из уровнений найдем а=8

пятый член равен a*q^4=8*2^4=128

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нужно знать формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1),

где Sn - сумма первых n членов, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов.

Так как дано, что сумма членов с четными номерами равна 1360, а сумма членов с нечетными номерами равна 680, нужно выразить суммы этих членов через формулу.

Предположим, что первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Сумма членов с четными номерами можно выразить как:

Sчет = a + aq^2 + aq^4 + ... + aq^6,

или

Sчет = a * (1 + q^2 + q^4 + ... + q^6),

где q^2, q^4 и q^6 образуют геометрическую прогрессию.

Сумма членов геометрической прогрессии с знаменателем q и количеством членов равна:

Sгп = a * (q^8 - 1) / (q - 1),

но в данной задаче нам нужно сумму только для 4-х членов (четные номера).

Следовательно, сумма членов геометрической прогрессии с знаменателем q и количеством членов, равным 4, будет:

Sчет = a * (q^8 - 1) / (q - 1).

Аналогично, сумма членов с нечетными номерами будет:

Sнечет = a * (1 + q + q^2 + ... + q^7),

где q, q^3, q^5 и q^7 образуют геометрическую прогрессию.

Сумма членов геометрической прогрессии с знаменателем q и количеством членов равна:

Sгп = a * (q^8 - 1) / (q - 1),

но в данной задаче нам нужно сумму только для 4-х членов (нечетные номера).

Следовательно, сумма членов геометрической прогрессии с знаменателем q и количеством членов, равным 4, будет:

Sнечет = a * (q^8 - 1) / (q - 1).

У нас есть два уравнения: Sчет = 1360 и Sнечет = 680.

Подставляя значения в эти уравнения, получаем систему уравнений:

a * (q^8 - 1) / (q - 1) = 1360, a * (q^8 - 1) / (q - 1) = 680.

Чтобы найти первый член геометрической прогрессии (a) и знаменатель прогрессии (q), нужно решить эту систему уравнений.

Далее я могу решить эту систему уравнений, используя математический пакет или программное обеспечение для алгебраических вычислений, например, Wolfram Alpha.