Question

Исследуйте и постройте график функции у = (х^2-4)/(х^2+4)

Answer 1

Смотрите прикрепленный файл

Answer 2

Давайте исследуем функцию \( f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x^2 + 4}} \). Чтобы построить график и провести анализ, давайте рассмотрим следующие аспекты:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как знаменатель не обращается в ноль для любого \(x\).

2. Нули функции: Найдем значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\): \[ \frac{{x^2 - 4}}{{x^2 + 4}} = 0 \] \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x = \pm 2 \]

Таким образом, у функции два нуля: \(x = -2\) и \(x = 2\).

3. Асимптоты: Посмотрим, есть ли вертикальные или горизонтальные асимптоты. Выражение имеет квадраты \(x\) в числителе и знаменателе, поэтому асимптот нет.

4. Четность/нечетность: Подставим \(-x\) в функцию: \[ f(-x) = \frac{{(-x)^2 - 4}}{{(-x)^2 + 4}} = \frac{{x^2 - 4}}{{x^2 + 4}} = f(x) \]

Функция является четной.

5. График: Построим график функции \(f(x)\). Мы знаем, что у нее два нуля (\(x = -2\) и \(x = 2\)). Мы также можем вычислить значения функции для нескольких других точек, чтобы получить представление о ее поведении.

Теперь давайте построим график функции:


На графике видно, что функция имеет два нуля в точках \((-2, 0)\) и \((2, 0)\). График симметричен относительно оси \(y\), что соответствует четности функции.

Это основные характеристики функции \(f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x^2 + 4}}\), а также ее график.