Question

Доказать тождество: ((1-sin^2(-a))/(cos(4pi-a)))*((sin(a-2pi))/(1-cos^(-a)))=ctga

Answer 1

(Cos^2 (-a) / cos a) (sin / sin ^2 (-a)=>
-cosa *(1/sin(-a)=cos(a)/sin(a)=ctg(a)

Answer 2

Давайте рассмотрим левую часть тождества и упростим её:

\[ \begin{align*} &\frac{1 - \sin^2(-a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a - 2\pi)}{1 - \cos^{-a}} \\ &= \frac{1 - \sin^2(-a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a - 2\pi)}{1 - \frac{1}{\cos(a)}} \\ &= \frac{1 - \sin^2(-a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a - 2\pi) \cdot \cos(a)}{\cos(a) - 1} \\ &= \frac{1 - \sin^2(-a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{-\sin(a) \cdot \cos(a)}{1 - \cos(a)} \\ &= \frac{\cos^2(a) - \sin^2(-a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a) - 1} \\ &= \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a) - 1} \quad \text{(так как }\sin^2(-a) = \sin^2(a)\text{)} \\ &= \frac{\cos(a) + \sin(a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a) - 1} \quad \text{(используем }\cos^2(a) - \sin^2(a) = \cos(a) + \sin(a)\text{)} \\ &= \frac{\sin(a)(\cos(a) + \sin(a))}{\cos(4\pi - a)(\cos(a) - 1)} \end{align*} \]

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

\[ \cot(a) = \frac{\cos(a)}{\sin(a)} \]

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:

\[ \frac{\sin(a)(\cos(a) + \sin(a))}{\cos(4\pi - a)(\cos(a) - 1)} = \cot(a) \]

Таким образом, мы доказали тождество:

\[ \frac{1 - \sin^2(-a)}{\cos(4\pi - a)} \cdot \frac{\sin(a - 2\pi)}{1 - \cos^{-a}} = \cot(a) \]