Question

(sin2x+cosx)(sqrt3 + sqrt3tgx) = 0

Answer 1

(sin2x+cosx)(sqrt3 + sqrt3tgx) = 0

Answer 2

Дано уравнение: (sin2x+cosx)(sqrt3+sqrt3tgx) = 0.

Чтобы решить это уравнение, нужно проанализировать каждый из множителей отдельно и рассмотреть все возможные комбинации значений, для которых их произведение равно нулю.

1. Первый множитель: sin2x + cosx. Для решения этого множителя можно использовать тригонометрические тождества. Заметим, что cosx = 1 - sin^2(x), поэтому: sin2x + cosx = sin2x + 1 - sin^2(x) = 1 + sin2x - sin^2(x). Применив тригонометрическую формулу для синуса двойного угла, получим: 1 + sin2x - sin^2(x) = 1 + 2sinx*cosx - sin^2(x) = 1 - sin^2(x) + 2sinx*cosx. Заметим, что это выражение является квадратным триномом относительно sinx: (1 - sinx)^2 + 2sinx*cosx.

2. Второй множитель: sqrt3 + sqrt3tgx. Здесь также можно применить тригонометрическое тождество. Заметим, что tgx = sinx/cosx, поэтому: sqrt3 + sqrt3tgx = sqrt3 + sqrt3*(sinx/cosx) = sqrt3*(1 + sinx/cosx).

Теперь рассмотрим все возможные комбинации значений множителей, при которых их произведение равно нулю:

1. Когда первый множитель равен нулю: 1 - sin^2(x) + 2sinx*cosx = 0. Применим тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x): cos^2(x) + 2sinx*cosx = 0. Заметим, что это выражение является квадратным триномом относительно cosx: cosx*(cosx + 2sinx) = 0. Таким образом, получаем два случая: - cosx = 0, тогда угол x равен pi/2 + pi*k, где k - целое число. - cosx + 2sinx = 0, тогда применяем тождество cosx = sqrt(1 - sin^2(x)): sqrt(1 - sin^2(x)) + 2sinx = 0. Возведем обе части уравнения в квадрат и решим получившееся уравнение: 1 - sin^2(x) + 4sinx + 4sin^2(x) = 0. 5sin^2(x) + 4sinx + 1 = 0. Решим это квадратное уравнение: sinx = (-4 ± sqrt(4^2 - 4*5))/10 = (-4 ± sqrt(-16))/10. Квадратный корень из отрицательного числа не существует в действительных числах, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

2. Когда второй множитель равен нулю: 1 + sinx/cosx = 0. Применим тождества sinx = sinx/cosx * cosx и cosx != 0: sinx/cosx * cosx + cosx = 0. sinx + cos^2(x) = 0. Применим тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x): sinx + 1 - sin^2(x) = 0. sin^2(x) - sinx - 1 = 0. Решим это квадратное уравнение: sinx = (1 ± sqrt(1 + 4))/2 = (1 ± sqrt(5))/2. Таким образом, получаем два случая: - sinx = (1 + sqrt(5))/2, тогда x = arcsin((1 + sqrt(5))/2) + 2*pi*k, где k - целое число. - sinx = (1 - sqrt(5))/2, тогда x = arcsin((1 - sqrt(5))/2) + 2*pi*k, где k - целое число.

Таким образом, получаем следующие решения уравнения: x = pi/2 + pi*k, x = arcsin((1 + sqrt(5))/2) + 2*pi*k, x = arcsin((1 - sqrt(5))/2) + 2*pi*k, где k - целое число.