Question

При каком положительном значении x последовательность чисел 3x, 7-x, 5x+7 является геометрической прогрессией?

Answer 1

В геометрической прогрессии соблюдается равенство:
(7-х)^2=3х*(5х+7);
49-14х+х^2=15х^2+21х;
14х^2+35х-49=0;
D=35^2-4*14*(-49)=3969;
x=(-35+63)/2*14=1;
второй корень отрицательный;
Ответ: 1

Answer 2

Чтобы последовательность чисел 3x, 7-x, 5x+7 была геометрической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы отношение любых двух последовательных членов было одинаковым.

То есть, мы должны удовлетворять следующему условию:

(7-x) / (3x) = (5x+7) / (7-x)

Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к общему знаменателю и раскрыть скобки:

(7-x)^2 = (3x)(5x+7)

Раскроем скобки:

49 - 14x + x^2 = 15x^2 + 21x

Приведем подобные члены:

0 = 15x^2 + 21x - x^2 + 14x - 49

16x^2 + 35x - 49 = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = (35)^2 - 4*16*(-49) = 1225 + 3136 = 4361

Таким образом, дискриминант равен 4361. Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня.

Округлим корни до двух знаков после запятой:

x1 ≈ -3.63

x2 ≈ 1.13

Итак, при положительных значениях x ≈ 1.13 последовательность чисел 3x, 7-x, 5x+7 будет геометрической прогрессией.