Question

Помогите. Для чисел x, y и z выполняются три равенства.(x+y)(x+y+z)=3,(y+z)(y+z+x)=4, (z+x)(z+x+y)=5. Найдите (x+y+z)^2.

Answer 1

Сложим все эти три равенства:
(x + y)(x + y + z) + (y + z)(x + y + z) + (z + x)(x + y + z) = 3 + 4 + 5
Вынесем х + у + z за скобку
(x + y + z)(x + y + y + z + z + x) = 12
(x + y + z)(2x + 2y + 2z) = 12
2(x + y + z)(x + y + z) = 12
(x + y + z)² = 6.
Ответ: 6.

Answer 2

Сложим все равенства:

(x+y)(x+y+z) + (x+z)(x+y+z) + (y+z)(x+y+z) = 12
x(x+y+z) + y(x+y+z) + x(x+y+z) + z(x+y+z) + y(x+y+z) + z(x+y+z) = 12
2x(x+y+z) + 2y(x+y+z) + 2z(x+y+z) = 12
2(x+y+z)(x+y+z) = 12
(x+y+z)² = 6

Answer 3

Давайте разберемся с данными уравнениями.

У нас есть три уравнения:

1. \((x+y)(x+y+z) = 3\) 2. \((y+z)(y+z+x) = 4\) 3. \((z+x)(z+x+y) = 5\)

Давайте раскроем скобки в каждом уравнении:

1. \(x^2 + xy + xy + y^2 + xz + yz = 3\) 2. \(y^2 + yz + yz + z^2 + yx + zx = 4\) 3. \(z^2 + zx + zx + x^2 + zy + xy = 5\)

Теперь объединим все три уравнения:

\[2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx) = 12\]

Разделим обе стороны на 2:

\[x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 6\]

Теперь, чтобы найти значение выражения \((x+y+z)^2\), раскроем квадрат:

\[(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\]

Мы уже знаем, что \(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 6\), подставим это значение:

\[(x+y+z)^2 = 6 + 2(xy + yz + zx)\]

Теперь остается найти значение \(xy + yz + zx\). Давайте сложим все уравнения и выразим это выражение:

\[2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx) = 12\]

\[x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 6\]

Теперь выразим \(xy + yz + zx\):

\[xy + yz + zx = 6 - x^2 - y^2 - z^2\]

Теперь подставим это значение в исходное уравнение:

\[(x+y+z)^2 = 6 + 2(6 - x^2 - y^2 - z^2)\]

Упростим:

\[(x+y+z)^2 = 18 - 2x^2 - 2y^2 - 2z^2\]

Таким образом, \((x+y+z)^2\) равно \(18 - 2x^2 - 2y^2 - 2z^2\).