Question

Найдите максимум функции f(x)= x + 4/x

Answer 1

Ответ смотрите во вкладке.

Answer 2

Для нахождения максимума функции f(x) = x + 4/x необходимо найти точку, в которой производная функции равна нулю или не существует. Так как данная функция является рациональной и непрерывной на своей области определения, мы можем применить производную для нахождения такой точки.

Нахождение производной функции f(x)

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого используем правила дифференцирования функций.

Правило дифференцирования слагаемых: (a + b)' = a' + b' Правило дифференцирования произведения: (a * b)' = a' * b + a * b' Правило дифференцирования частного: (a / b)' = (a' * b - a * b') / b^2

Применим данные правила к функции f(x) = x + 4/x:

f'(x) = (x)' + (4/x)' = 1 + (-4/x^2) = 1 - 4/x^2

Нахождение точек экстремума

Теперь найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

f'(x) = 1 - 4/x^2

Для того чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

1 - 4/x^2 = 0

Перенесем -4/x^2 на другую сторону:

1 = 4/x^2

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

x^2 = 4

Возьмем квадратный корень от обеих частей:

x = ±2

Таким образом, получаем две точки, в которых производная функции равна нулю: x = -2 и x = 2.

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли найденная точка максимумом или минимумом, можно проанализировать знак производной вокруг каждой точки.

Для x < -2: Подставим произвольное значение x, например x = -3, в производную функции f'(x) = 1 - 4/x^2: f'(-3) = 1 - 4/(-3)^2 = 1 - 4/9 = 1 - 4/9 = 5/9 > 0

Для -2 < x < 2: Подставим произвольное значение x, например x = 0, в производную функции f'(x) = 1 - 4/x^2: f'(0) = 1 - 4/0^2 = 1 - 4/0 = 1 - ∞ = -∞ < 0

Для x > 2: Подставим произвольное значение x, например x = 3, в производную функции f'(x) = 1 - 4/x^2: f'(3) = 1 - 4/3^2 = 1 - 4/9 = 5/9 > 0

Исходя из знаков производной, можно сделать вывод, что функция имеет максимум в точке x = -2 и x = 2.

Нахождение значения максимума

Для нахождения значения максимума функции f(x) = x + 4/x в найденных точках, подставим их в исходную функцию:

f(-2) = -2 + 4/(-2) = -2 - 2 = -4 f(2) = 2 + 4/2 = 2 + 2 = 4

Таким образом, максимум функции f(x) = x + 4/x равен -4 при x = -2 и равен 4 при x = 2.