Question

Помогите пожалуйста решить тригонометрическое уравнение ( сначала нужно использовать формулу " разность квадратов") sin⁴x -cos⁴x=0.5

Answer 1

$sin^4x-cos^4x = 0,5 \\ sin^4x-cos^4x = \frac{1}{2} \\ -cos^2x= \frac{1}{2} \\ 2x = acrcos(-\frac{1}{2}) \\ x = \frac{ \pi }{3}$

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения, нам необходимо использовать формулу разности квадратов для тригонометрических функций.

Формула разности квадратов гласит:

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

В данном уравнении есть два члена, содержащих разность квадратов: sin^4x и cos^4x.

Теперь применим формулу разности квадратов для sin^4x и cos^4x:

sin^4x - cos^4x = (sin^2x + cos^2x)(sin^2x - cos^2x)

Заметим, что sin^2x + cos^2x равно единице, так как это тождество тригонометрии. Тогда уравнение можно записать в следующем виде:

(sin^2x - cos^2x)(sin^2x + cos^2x) = 0.5

Теперь заметим, что sin^2x + cos^2x = 1. Тогда уравнение упрощается до:

(sin^2x - cos^2x) = 0.5

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов для sin^2x и cos^2x:

(sin^2x - cos^2x) = (sinx + cosx)(sinx - cosx)

Подставляем обратно в уравнение:

(sinx + cosx)(sinx - cosx) = 0.5

Теперь мы имеем произведение двух множителей равное 0.5. Каждый из этих множителей может быть равен 0.5, поэтому получаем два уравнения:

sinx + cosx = 0.5 и sinx - cosx = 0.5

Решим первое уравнение:

sinx + cosx = 0.5

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sinx или cosx через другую функцию. Рассмотрим тождество sin^2x + cos^2x = 1 и возведем его в квадрат:

(sin^2x + cos^2x)^2 = 1

(sin^2x)^2 + 2sin^2x*cos^2x + (cos^2x)^2 = 1

(sin^4x) + 2sin^2x*cos^2x + (cos^4x) = 1

Теперь заметим, что в данном тождестве у нас есть все слагаемые из исходного уравнения sin^4x - cos^4x = 0.5.

Подставим значения:

(sin^4x) + 2sin^2x*cos^2x + (cos^4x) = 1

0.5 + 2*(sin^2x*cos^2x) + 0.5 = 1

2*(sin^2x*cos^2x) = 0

sin^2x*cos^2x = 0

Теперь рассмотрим все возможные случаи:

1. Если sin^2x = 0, то sinx = 0, так как sinx >= 0 всегда. Подставляем sinx = 0 в уравнение sinx + cosx = 0.5: 0 + cosx = 0.5 cosx = 0.5 Решение этого уравнения: x = π/3 + 2πk, где k - целое число.

2. Если cos^2x = 0, то cosx = 0, так как cosx >= 0 всегда. Подставляем cosx = 0 в уравнение sinx - cosx = 0.5: sinx - 0 = 0.5 sinx = 0.5 Решение этого уравнения: x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = π/6 + 2πk и x = π/3 + 2πk, где k - целое число.