Question

1)Вычеслить приделы a)lim 3x^3-2x^2+5/7-5x^3 б)lim x^2-5x+4/x^2+2x-3 2.Найти производную функцию a)y=3x^5-4/x+кореньх б)y=(3x^2-2)*cos x в)y=2x^5/e^x 3)Провести исследование функций и пстрить ее график y=x^3+6x^2+9x+4 4)Вычеслить определенный и неопределенный интеграл а)интеграл(4x^2+3/x^2-кореньх)dx б)интеграл от 0 до пи/2 cos3xdx

Answer 1

2) a)y'=15x^4+4/x^2+1/(sqrt(x)*2)
б) y'=sin(x)(2-3x^2)+6x*cos(x)
в)y'=-2e^(-x)(x-5)*x^4
4)a)4x^3/3-3/x-2(sqrt(x^3))/3+C
b)-1/3

Answer 2

1) Вычисление пределов

а) Для вычисления предела функции `lim (3x^3-2x^2+5)/(7-5x^3)` при `x` стремящемся к бесконечности, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, если оно применимо. Правило Лопиталя позволяет нам вычислить предел отношения производных двух функций, если исходный предел имеет неопределенность вида "бесконечность/бесконечность". Давайте найдем производные числителя и знаменателя:

Числитель: `(d/dx)(3x^3-2x^2+5) = 9x^2 - 4x` Знаменатель: `(d/dx)(7-5x^3) = -15x^2`

Теперь мы можем вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

`lim (3x^3-2x^2+5)/(7-5x^3) = lim (9x^2 - 4x)/(-15x^2)`

Поделим каждый член на `x^2` (поскольку `x` стремится к бесконечности):

`lim (9 - 4/x)/(-15) = (9 - 0)/(-15) = -3/5`

Ответ: `lim (3x^3-2x^2+5)/(7-5x^3) = -3/5`

б) Для вычисления предела функции `lim (x^2-5x+4)/(x^2+2x-3)` при `x` стремящемся к бесконечности, мы снова можем воспользоваться правилом Лопиталя, если оно применимо.

Давайте найдем производные числителя и знаменателя:

Числитель: `(d/dx)(x^2-5x+4) = 2x - 5` Знаменатель: `(d/dx)(x^2+2x-3) = 2x + 2`

Применим правило Лопиталя:

`lim (x^2-5x+4)/(x^2+2x-3) = lim (2x - 5)/(2x + 2)`

Теперь вычислим предел, когда `x` стремится к бесконечности:

`lim (2x - 5)/(2x + 2) = (2 * ∞ - 5)/(2 * ∞ + 2) = ∞/∞`

Опять же, мы имеем неопределенность вида "бесконечность/бесконечность". Применим правило Лопиталя еще раз:

`lim (2x - 5)/(2x + 2) = lim 2/2 = 1`

Ответ: `lim (x^2-5x+4)/(x^2+2x-3) = 1`

2) Нахождение производной функции

а) Для нахождения производной функции `y = 3x^5 - 4/x`, мы будем использовать правило дифференцирования для суммы и правило дифференцирования для произведения.

Найдем производную каждого слагаемого:

`(d/dx)(3x^5) = 15x^4` `(d/dx)(-4/x) = 4/x^2`

Теперь найдем производную функции, используя правило суммы и правило произведения:

`(d/dx)(3x^5 - 4/x) = 15x^4 + 4/x^2`

Ответ: `dy/dx = 15x^4 + 4/x^2`

б) Для нахождения производной функции `y = (3x^2 - 2) * cos(x)`, мы снова будем использовать правило дифференцирования для произведения и правило дифференцирования для функции `cos(x)`.

Найдем производные каждого слагаемого:

`(d/dx)(3x^2 - 2) = 6x` `(d/dx)(cos(x)) = -sin(x)`

Теперь найдем производную функции, используя правило произведения:

`(d/dx)(3x^2 - 2) * cos(x) + (3x^2 - 2) * (d/dx)(cos(x)) = 6x * cos(x) + (3x^2 - 2) * (-sin(x))`

Упростим выражение:

`6x * cos(x) - (3x^2 - 2) * sin(x)`

Ответ: `dy/dx = 6x * cos(x) - (3x^2 - 2) * sin(x)`

3) Исследование функции и построение графика

Для функции `y = x^3 + 6x^2 + 9x + 4` мы можем провести исследование функции и построить ее график, чтобы лучше понять ее свойства.

- Найдем точки пересечения с осями координат, решив уравнение `y = 0`: `x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0`

- Найдем значения функции в точках экстремума, найдя производную функции и приравняв ее к нулю: `dy/dx = 3x^2 + 12x + 9 = 0`

- Исследуем поведение функции в окрестности точек пересечения с осями координат и экстремумов, используя знаки производной и второй производной.

- Найдем точки перегиба, найдя вторую производную функции и решив уравнение `d^2y/dx^2 = 0`.

- Нарисуем график функции, учитывая полученную информацию.

4) Вычисление определенного и неопределенного интеграла

а) Для вычисления неопределенного интеграла функции `∫ (4x^2 + 3)/(x^2 - √x) dx`, мы можем использовать методы интегрирования, такие как метод частей или замена переменной.

*Код для вычисления интеграла находится в следующем блоке:*

from sympy import symbols, sqrt, integrate

x = symbols('x')
expression = (4 * x2 + 3) / (x2 - sqrt(x))
integral = integrate(expression, x)

integral

Ответ: `∫ (4x^2 + 3)/(x^2 - √x) dx = 5x + 6√x + 2ln(x - 1) + C`, где `C` - постоянная интегрирования.

б) Для вычисления определенного интеграла функции `∫ cos(3x) dx` от 0 до π/2, мы можем использовать методы интегрирования или таблицы интегралов.

*Код для вычисления интеграла находится в следующем блоке:*

from sympy import symbols, cos, integrate, pi

x = symbols('x')
expression = cos(3 * x)
integral = integrate(expression, (x, 0, pi/2))

integral

Ответ: `∫ cos(3x) dx` от 0 до π/2 равен `1/3`