Question

Докажите что ( √3 - √2 ) во второй степени + ( √3 - √2 ) ∗ ( √3 + √2 ) есть иррациональное число

Answer 1

( √3 - √2 )² + ( √3 - √2 ) ∗ ( √3 + √2 )=
=√3² - 2√3√2 +√2²+√3²-√2²=3-2√6+2+2-3=4-2√6, а иррациональное число - это число или выражение под знаком корня. ⇒
⇒выражение ( √3 - √2 )² + ( √3 - √2 ) ∗ ( √3 + √2 ) есть иррациональное число

Answer 2

Давайте предположим обратное: что \( (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \) - рациональное число. Тогда раскроем скобки и упростим выражение:

\[ (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]

\[ = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]

Теперь раскроем первые две скобки, используя формулу \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):

\[ = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]

\[ = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]

\[ = 3 - 2 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]

\[ = 3 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть выражение \(3 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\), и предположение состоит в том, что оно рациональное. Давайте теперь рассмотрим отдельно части с рациональными и иррациональными компонентами.

Пусть \(a = 3\) - рациональная часть, и \(b = -2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\) - иррациональная часть.

Тогда мы предполагаем, что \(a + b\) - рациональное число. При этом \(b\) иррационально.

Если сумма рациональной и иррациональной части равна рациональному числу, то обе части должны быть иррациональными. Однако у нас именно такая ситуация, где \(a\) - рациональное, а \(b\) - иррациональное, и их сумма \(a + b\) предполагается быть рациональной.

Это приводит к противоречию. Следовательно, исходное предположение неверно, и \( (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \) - иррациональное число.