Question

Помогите2tgx+5ctgx-11=0

Answer 1

$2tgx+ \frac{5}{tgx} -11=0 2 tg^{2}-11tgx +5=0 tgx=a 2 a^{2} -11a+5=0 a1= 1/2 a2=5 x1=arctg 1/2+ \pi n x2=arctg5+ \pi n$

Answer 2

Решение во вложении.

Answer 3

Для решения уравнения \(2\tan(x) + 5\cot(x) - 11 = 0\) мы можем воспользоваться тем, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\), чтобы преобразовать уравнение к одной тригонометрической функции.

Давайте представим \(\cot(x)\) как \(\frac{1}{\tan(x)}\), чтобы получить уравнение только с \(\tan(x)\):

\[2\tan(x) + 5 \cdot \frac{1}{\tan(x)} - 11 = 0\]

Умножим обе части уравнения на \(\tan(x)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[2\tan^2(x) + 5 - 11\tan(x) = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(\tan(x)\):

\[2\tan^2(x) - 11\tan(x) + 5 = 0\]

Мы можем решить это уравнение квадратным способом. Для удобства обозначим \(\tan(x)\) как \(t\):

\[2t^2 - 11t + 5 = 0\]

Чтобы решить это уравнение, используем квадратное уравнение \(at^2 + bt + c = 0\) с помощью формулы дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), а затем \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

В нашем случае:

\[a = 2, \quad b = -11, \quad c = 5\]

Дискриминант \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[t = \frac{-(-11) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5\]

и

\[t = \frac{-(-11) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем обратные тангенсы, чтобы получить значения \(x\):

\[x_1 = \arctan(5)\]

\[x_2 = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\]

Однако, убедимся, что решения входят в область допустимых значений. Так как \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), область допустимых значений \(\tan(x)\) – все действительные числа, за исключением значений, при которых \(\cos(x) = 0\) (поскольку деление на ноль невозможно). Значит, для \(\arctan(5)\) и \(\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\) нам нужно проверить, лежат ли они в допустимой области.

\[x_1 = \arctan(5) \approx 78.69^\circ\]

\[x_2 = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ\]

Оба значения находятся в области допустимых значений для \(\tan(x)\), так что это наши ответы: \(x \approx 78.69^\circ\) и \(x \approx 26.57^\circ\).