Question

Помогите решить показательные уравнения: 2^х+4 -2^х=120 и 4^х+2 +8<9×2^х+2

Answer 1

1) 2^x(2^4 -1) = 120
    2^x*15 = 120
    2^x = 8
     x = 3
2) 2^2(x+2) +8 < 9*2^(x+2)
2^(x+2) = t'
t² + 8 -9t < 0
t² - 9t +8 < 0  ( корни 1 и 8)
1 < t < 8
1 < 2^(x+2) < 8
2^0 < 2^(x+2) < 2³
0 < x+2 < 3
-2< x < 1

Answer 2

Для решения первого показательного уравнения: 2^х + 4 - 2^х = 120, можно заметить, что два одинаковых слагаемых со знаком "плюс" и "минус" будут уничтожаться. Таким образом, уравнение сводится к простому выражению: 4 = 120.

Очевидно, что это уравнение не имеет решений, так как число 4 не может быть равным 120. Следовательно, первое показательное уравнение не имеет решений.

Для решения второго показательного неравенства: 4^х + 2 < 9×2^х + 2, можно привести выражения к общему основанию, чтобы сравнить их.

Применим свойство степени: a^b × a^c = a^(b + c). Тогда выражение примет вид: (2^2)^х + 2 < 9×2^х + 2.

Упростим: 2^(2х) + 2 < 9×2^х + 2.

Теперь заметим, что оба слагаемых справа и слева равны 2, поэтому их можно сократить: 2^(2х) < 9×2^х.

Теперь применим свойство степени: a^b < a^c, если b < c. То есть, если показатель степени слева меньше показателя степени справа, то выражение выполняется.

Поэтому, 2х < х. Это неравенство выполняется при любом положительном значении х.

Таким образом, второе показательное неравенство выполняется при всех положительных значениях х.