Question

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

Answer 1

Интеграл dx/(1+16x²)  = интеграл dx/(1+(4x)²)  =
 интеграл(1/4)* d(4x)/(1+(4x)²) =(1/4) интеграл du/(1+u²) =
(1/4*)arctq4x +C .

Answer 2

$\int\frac{dx}{1+16x^2}=(*)\\ y=4x\\ dy=4dx; \ \ \ dx=\frac{dy}4\\ \int\frac{dx}{1+16x^2}=\int\frac{dy}{4(1+y^2)}=\frac{1}4\int\frac{dy}{1+y^2}=\frac{1}{4}arctgy+C=\frac{1}{4}arctg(4x)+C$

Answer 3

Интегрирование методом непосредственного интегрирования означает применение основных свойств и формул интеграла для нахождения аналитического выражения для неопределенного интеграла.

Например, давайте найдем неопределенный интеграл от функции f(x) = x^2:

∫ x^2 dx

Для начала применим формулу степени:

∫ x^2 dx = x^(2+1)/(2+1) + C

где C - произвольная константа.

Упрощая выражение, получаем:

∫ x^2 dx = x^3/3 + C

Таким образом, неопределенный интеграл от функции f(x) = x^2 равен x^3/3 + C.

Второй пример:

∫ 3x^2 - 2x + 1 dx

В данном случае применяем линейность интеграла:

∫ (3x^2 - 2x + 1) dx = ∫ 3x^2 dx - ∫ 2x dx + ∫ 1 dx

Применяем формулу степени и основное свойство интеграла:

∫ 3x^2 dx = x^(2+1)/(2+1) = x^3/3 ∫ 2x dx = x^2 ∫ 1 dx = x

Суммируя полученные результаты, получим:

∫ 3x^2 - 2x + 1 dx = x^3/3 - x^2 + x + C

Где С - произвольная константа.

Таким образом, мы нашли аналитическое выражение для неопределенного интеграла от функции f(x) = 3x^2 - 2x + 1.