Question

Решите систему x^2=3x+4y y^2=4x+3y

Answer 1

$\begin{cases} & \text{ } x^2=3x+4y \\ & \text{ } y^2=4x+3y \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x^2-3x-4y=0 \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}\Rightarrow\\ \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x^2-3x-4y=y^2-4x-3y \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x^2+x-y-y^2=0 \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}$
$\begin{cases} & \text{ } (x-y)(x+y)+x-y=0 \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } (x-y)(x+y+1)=0 \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}$

Имеем 2 системы:

1)
$\begin{cases} & \text{ } x+y+1=0 \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x=-y-1 \\ & \text{ } y^2-4(-y-1)-3y=0 \end{cases}\\ \\ y^2+4y-3y+4=0\\ y^2+y+4=0$
Обычное квадратное уравнение.
 $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot4\ \textless \ 0$

$D\ \textless \ 0$, значит квадратное уравнение действительных корней не имеет.


2)
$\begin{cases} & \text{ } x-y=0 \\ & \text{ } y^2-4x-3y=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x=y \\ & \text{ } y^2-4y-3y=0 \end{cases}\\ \\ y^2-7y=0\\ y(y-7)=0\\ y_1=0;\\ y_2=7;\\ x_1=0\\ x_2=7$



Ответ: $(0;0),\,\,(7;7).$

Answer 2

Чтобы решить данную систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте решим ее поэтапно.

Метод подстановки:

1. Возьмем первое уравнение: x^2 = 3x + 4y. 2. Разрешим его относительно одной переменной, например, x: x = 3 + 4y - y^2. 3. Подставим это значение x во второе уравнение: (3 + 4y - y^2)^2 = 4(3 + 4y) + 3y. 4. Раскроем скобки и упростим уравнение: 9 + 24y + 16y^2 - 6y^3 + y^4 = 12 + 16y + 3y + 3y^2. 5. Соберем все члены в одну сторону уравнения: y^4 - 6y^3 + 13y^2 + 5y - 3 = 0. 6. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной y. Мы можем решить его с помощью факторизации или квадратного трехчлена.

Метод исключения:

1. Разрешим первое уравнение относительно x: x = 3 + 4y - y^2. 2. Подставим это значение x во второе уравнение: (3 + 4y - y^2)^2 = 4x + 3y. 3. Раскроем скобки и упростим уравнение: 9 + 24y + 16y^2 - 6y^3 + y^4 = 4(3 + 4y) + 3y. 4. Раскроем скобки и упростим уравнение: 9 + 24y + 16y^2 - 6y^3 + y^4 = 12 + 16y + 3y. 5. Соберем все члены в одну сторону уравнения: y^4 - 6y^3 + 13y^2 + 5y - 3 = 0. 6. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной y. Мы можем решить его с помощью факторизации или квадратного трехчлена.

Оба метода приводят к квадратному уравнению y^4 - 6y^3 + 13y^2 + 5y - 3 = 0. Решение этого уравнения может быть достаточно сложным и может потребовать применения численных методов или графического анализа. Если вам нужно конкретное числовое решение, пожалуйста, уточните это, и я постараюсь помочь с более детальным анализом.