Question

Докажите, что неравенство (a-5)(a+3)меньше (а+1)(а-7) верно при любых значениях а.

Answer 1

(а-5)(а+3) < (а+1)(а-7)
а^2 - 2а - 15 < а^2 - 6а - 7
4а-8<0
4а<8
а<2
Неравенство верно, если а<2.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем его доказать для любых значений \(a\).

Имеем неравенство: \[(a-5)(a+3) < (a+1)(a-7)\]

Давайте раскроем скобки в обоих частях неравенства:

\[(a^2 - 5a + 3a - 15) < (a^2 + a - 7a - 7)\]

Сгруппируем подобные члены:

\[a^2 - 2a - 15 < a^2 - 6a - 7\]

Теперь вычтем \(a^2\) с обеих сторон:

\[-2a - 15 < -6a - 7\]

Прибавим \(6a\) к обеим сторонам:

\[4a - 15 < -7\]

Теперь прибавим 15 к обеим сторонам:

\[4a < 8\]

И, наконец, разделим на 4 (при этом важно помнить, что деление на положительное число не меняет знак неравенства):

\[a < 2\]

Таким образом, мы доказали, что неравенство \((a-5)(a+3) < (a+1)(a-7)\) верно при любых значениях \(a\), которые меньше 2.