Question

(cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=tg(pi/4 + альфа) доказать тождество

Answer 1

используя формулы косинуса суммы, синуса суммы и основное тригонометрическое тождество:

 

(cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=

(корень(2)/2*cos альфа + корень(2)/2*sin альфа ) / (корень(2)/2*cos альфа - корень(2)/2*sin альфа )=

=(sin(pi/4)*cos альфа + cos(pi/4)*sin альфа ) / (cos (pi/4) *cos альфа - sin(pi/4)*sin альфа)

=sin(pi/4 + альфа)/cos(pi/4 + альфа)=tg(pi/4 + альфа), что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества и математические преобразования.

Данное тождество выражает равенство двух выражений. Чтобы доказать его, мы начнем с левой стороны и преобразуем ее с использованием тригонометрических идентичностей.

Левая сторона:

cos(α) + sin(α) / (cos(α) - sin(α))

Преобразования:

Мы можем использовать идентичность тангенса, чтобы преобразовать числитель и знаменатель: cos(α) + sin(α) = sqrt(2) * sin(π/4 + α) cos(α) - sin(α) = sqrt(2) * cos(π/4 + α)

Левая сторона (продолжение):

sqrt(2) * sin(π/4 + α) / sqrt(2) * cos(π/4 + α)

sqrt(2) в числителе и знаменателе сокращаются:

sin(π/4 + α) / cos(π/4 + α)

Преобразования:

Мы можем использовать тригонометрическое тождество, чтобы преобразовать данное выражение:

tan(π/4 + α)

Правая сторона:

tg(π/4 + α)

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что левая сторона выражения cos(α) + sin(α) / (cos(α) - sin(α)) равна правой стороне выражения tg(π/4 + α). Оба выражения представляют собой тангенс суммы угла α и π/4.