Question

Написать разложение вектора х по векторам p,q,r. х{-1,7,-4} p{ -1,2,-1,} q{ 2.0.3} r{ 1,1,-1}

Answer 1

запишем систему

-v+2y+z=-1

2v+0y+1z=7

-v+3y-1z=-4

решая систему находим

v=30/11

y=1/11

z=17/11

x=30/11p+1/11q+17/11r

Answer 2

Когда говорят о разложении вектора по векторам, обычно имеют в виду представление данного вектора как линейной комбинации других векторов. Давайте рассмотрим ваш запрос.

У вас есть вектор \( \mathbf{x} = \{-1, 7, -4\} \) и три вектора \( \mathbf{p} = \{-1, 2, -1\} \), \( \mathbf{q} = \{2, 0, 3\} \) и \( \mathbf{r} = \{1, 1, -1\} \).

Разложение вектора \( \mathbf{x} \) по векторам \( \mathbf{p} \), \( \mathbf{q} \) и \( \mathbf{r} \) будет иметь вид:

\[ \mathbf{x} = a \cdot \mathbf{p} + b \cdot \mathbf{q} + c \cdot \mathbf{r} \]

где \( a, b, c \) - это коэффициенты, которые мы должны найти.

Мы можем записать систему уравнений на основе этого равенства:

\[ -1 = a \cdot (-1) + b \cdot 2 + c \cdot 1 \] \[ 7 = a \cdot 2 + b \cdot 0 + c \cdot 1 \] \[ -4 = a \cdot (-1) + b \cdot 3 + c \cdot (-1) \]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения \( a, b, c \).

Первое уравнение:

\[ -1 = -a + 2b + c \]

Второе уравнение:

\[ 7 = 2a + c \]

Третье уравнение:

\[ -4 = -a + 3b - c \]

Теперь решим эту систему. Давайте сложим первое и третье уравнения:

\[ -1 - 4 = -a + 2b + c + (-a + 3b - c) \]

\[ -5 = -2a + 5b \]

Теперь выразим \( a \) через \( b \):

\[ 2a = 5b + 5 \]

\[ a = \frac{5b + 5}{2} \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 7 = 2\left(\frac{5b + 5}{2}\right) + c \]

\[ 7 = 5b + 5 + c \]

\[ c = 7 - 5b - 5 \]

Теперь у нас есть выражения для \( a \) и \( c \) через \( b \). Разложение вектора \( \mathbf{x} \) по векторам \( \mathbf{p} \), \( \mathbf{q} \) и \( \mathbf{r} \) будет иметь вид:

\[ \mathbf{x} = \frac{5b + 5}{2} \cdot \mathbf{p} + b \cdot \mathbf{q} + (7 - 5b - 5) \cdot \mathbf{r} \]

Теперь можем выбрать, например, \( b = 1 \) и подставить это значение, чтобы найти \( a \) и \( c \). Таким образом, разложение будет зависеть от выбора значения \( b \).